]> git.neil.brown.name Git - wiggle.git/commitdiff
DOC: remove diff.ps due to distribution license issues.
authorNeilBrown <neilb@suse.de>
Mon, 4 Feb 2013 22:57:56 +0000 (09:57 +1100)
committerNeilBrown <neilb@suse.de>
Mon, 4 Feb 2013 22:57:56 +0000 (09:57 +1100)
Replace with DOC/Algorithm which refers to the original document
and explains some of the differences.

Signed-off-by: NeilBrown <neilb@suse.de>
DOC/Algorithm [new file with mode: 0644]
DOC/diff.ps [deleted file]

diff --git a/DOC/Algorithm b/DOC/Algorithm
new file mode 100644 (file)
index 0000000..515ba07
--- /dev/null
@@ -0,0 +1,33 @@
+
+This directory previously contained a copy of
+   An O (ND) Difference Algorithm and Its Variations
+by EUGENE W. MYERS
+
+However it isn't clear that I have the right to redistrubute this so
+I've removed it.  It can easily be found by searching the internet.
+
+The code in wiggle differs from the algorithm presented in that paper
+in one fairly minor way.
+
+The paper describes how to find an optimal path or "snake" through the
+edit graph, but only stores the end-point and cost of the snake, not
+the full path (as that would require order-n^2 space).
+
+It then suggests that you run the same algorithm concurrently but in
+reverse from the end of the graph towards the start.  When you find
+that the longest snakes in both directions cross, you have a midpoint
+on the path.
+
+This is more useful than an end-point as you can recurse on either
+side and build up the full path using linear space and only doubling
+your work.
+
+Wiggle takes a different approach.  Finding where the snakes cross
+seemed awkward to me, and having two blocks of similiar but not
+identical code (one to search forward, one to search backwards) didn't
+appeal at all.
+
+So wiggle only searches forward, but it remembers where the half-way
+line was crossed.  i.e. it remembers the 'x' value when x+y
+changed from below to above (max_x + max_y)/2.
+This uses much the same amount of storage, but significantly less code.
diff --git a/DOC/diff.ps b/DOC/diff.ps
deleted file mode 100644 (file)
index e40c95e..0000000
+++ /dev/null
@@ -1,11852 +0,0 @@
-%!PS-Adobe-3.0
-%%Creator: psdit
-%%For: bobcat.CS.Arizona.EDU:gene (Gene Myers)
-%%Title: stdin (ditroff)
-%%CreationDate: Mon Sep 22 11:11:50 1997
-%%DocumentNeededResources: (atend)
-%%DocumentSuppliedResources: DIThacks
-%%Pages: (atend)
-%%EndComments
-% Start of psdit.pro -- prolog for ditroff translator
-% Copyright (c) 1985,1987 Adobe Systems Incorporated. All Rights Reserved. 
-% GOVERNMENT END USERS: See Notice file in TranScript library directory
-% -- probably /usr/lib/ps/Notice
-% RCS: $Header: /disks/hobo/vp6/snichols/rel3.0/transcript/lib/RCS/psdit.pro,v 3.0 1991/06/17 17:08:31 snichols Exp $
-% Psfig RCSID $Header: psdit.pro,v 1.5 88/01/04 17:48:22 trevor Exp $
-
-/$DITroff 180 dict def $DITroff begin
-
-/DocumentInitState [ matrix currentmatrix currentlinewidth currentlinecap
-currentlinejoin currentdash currentgray currentmiterlimit ] cvx def
-
-%% Psfig additions
-/startFig {
-        /SavedState save def
-        userdict maxlength dict begin
-        currentpoint transform
-
-        DocumentInitState setmiterlimit setgray setdash setlinejoin setlinecap
-                setlinewidth setmatrix
-
-        itransform moveto
-
-        /ury exch def
-        /urx exch def
-        /lly exch def
-        /llx exch def
-        /y exch 72 mul resolution div def
-        /x exch 72 mul resolution div def
-
-        currentpoint /cy exch def /cx exch def
-
-        /sx x urx llx sub div def       % scaling for x
-        /sy y ury lly sub div def       % scaling for y
-
-        sx sy scale                     % scale by (sx,sy)
-
-        cx sx div llx sub
-        cy sy div ury sub translate
-
-        /DefFigCTM matrix currentmatrix def
-
-        /initmatrix {
-                DefFigCTM setmatrix
-        } def
-        /defaultmatrix {
-                DefFigCTM exch copy
-        } def
-
-        /initgraphics {
-                DocumentInitState setmiterlimit setgray setdash
-                        setlinejoin setlinecap setlinewidth setmatrix
-                DefFigCTM setmatrix
-        } def
-
-        /showpage {
-                initgraphics
-        } def
-
-} def
-% Args are llx lly urx ury (in figure coordinates)
-/clipFig {
-        currentpoint 6 2 roll
-        newpath 4 copy
-        4 2 roll moveto
-        6 -1 roll exch lineto
-        exch lineto
-        exch lineto
-        closepath clip
-        newpath
-        moveto
-} def
-% doclip, if called, will always be just after a `startfig'
-/doclip { llx lly urx ury clipFig } def
-/endFig {
-        end SavedState restore
-} def
-/globalstart {
-        % Push details about the enviornment on the stack.
-        fontnum fontsize fontslant fontheight
-        % firstpage
-        mh my resolution slotno currentpoint
-        pagesave restore gsave
-} def
-/globalend {
-        grestore moveto
-        /slotno exch def /resolution exch def /my exch def
-        /mh exch def
-        % /firstpage exch def
-        /fontheight exch def
-        /fontslant exch def /fontsize exch def /fontnum exch def
-        F
-        /pagesave save def
-} def
-
-%% end XMOD additions
-
-/fontnum 1 def /fontsize 10 def /fontheight 10 def /fontslant 0 def
-/xi {72 mul 0 exch translate 72 resolution div dup neg scale 0 0 moveto
-  /fontnum 1 def /fontsize 10 def /fontheight 10 def /fontslant 0 def F
-  /pagesave save def}def
-/PB{save /psv exch def currentpoint translate
-  resolution 72 div dup neg scale 0 0 moveto}def
-/PE{psv restore}def
-/m1 matrix def /m2 matrix def /m3 matrix def /oldmat matrix def
-/tan{dup sin exch cos div}bind def
-/point{resolution 72 div mul}bind def
-/dround        {transform round exch round exch itransform}bind def
-/xT{/devname exch def}def
-/xr{/mh exch def /my exch def /resolution exch def}def
-/xp{}def
-/xs{docsave restore end}def
-/xt{}def
-/xf{/fontname exch def /slotno exch def fontnames slotno get fontname eq not
- {fonts slotno fontname findfont put fontnames slotno fontname put}if}def
-/xH{/fontheight exch def F}bind def
-/xS{/fontslant exch def F}bind def
-/s{/fontsize exch def /fontheight fontsize def F}bind def
-/f{/fontnum exch def F}bind def
-/F{fontheight 0 le {/fontheight fontsize def}if
-   fonts fontnum get fontsize point 0 0 fontheight point neg 0 0 m1 astore
-   fontslant 0 ne{1 0 fontslant neg tan 1 0 0 m2 astore m3 concatmatrix}if
-   makefont setfont .04 fontsize point mul 0 dround pop setlinewidth}bind def
-/X{exch currentpoint exch pop moveto show}bind def
-/N{3 1 roll moveto show}bind def
-/Y{exch currentpoint pop exch moveto show}bind def
-/S /show load def
-/ditpush{}def/ditpop{}def
-/AX{3 -1 roll currentpoint exch pop moveto 0 exch ashow}bind def
-/AN{4 2 roll moveto 0 exch ashow}bind def
-/AY{3 -1 roll currentpoint pop exch moveto 0 exch ashow}bind def
-/AS{0 exch ashow}bind def
-/MX{currentpoint exch pop moveto}bind def
-/MY{currentpoint pop exch moveto}bind def
-/MXY /moveto load def
-/cb{pop}def    % action on unknown char -- nothing for now
-/n{}def/w{}def
-/p{pop showpage pagesave restore /pagesave save def}def
-/abspoint{currentpoint exch pop add exch currentpoint pop add exch}def
-/dstroke{currentpoint stroke moveto}bind def
-/Dl{2 copy gsave rlineto stroke grestore rmoveto}bind def
-/arcellipse{oldmat currentmatrix pop
- currentpoint translate 1 diamv diamh div scale /rad diamh 2 div def
- rad 0 rad -180 180 arc oldmat setmatrix}def
-/Dc{gsave dup /diamv exch def /diamh exch def arcellipse dstroke 
-    grestore diamh 0 rmoveto}def
-/De{gsave /diamv exch def /diamh exch def arcellipse dstroke
-    grestore diamh 0 rmoveto}def
-/Da{currentpoint /by exch def /bx exch def /fy exch def /fx exch def
-   /cy exch def /cx exch def /rad cx cx mul cy cy mul add sqrt def
-   /ang1 cy neg cx neg atan def /ang2 fy fx atan def cx bx add cy by add
-   2 copy rad ang1 ang2 arcn stroke exch fx add exch fy add moveto}def
-/Barray 200 array def % 200 values in a wiggle
-/D~{mark}def
-/D~~{counttomark Barray exch 0 exch getinterval astore /Bcontrol exch def pop
- /Blen Bcontrol length def Blen 4 ge Blen 2 mod 0 eq and
- {Bcontrol 0 get Bcontrol 1 get abspoint /Ycont exch def /Xcont exch def
-  Bcontrol 0 2 copy get 2 mul put Bcontrol 1 2 copy get 2 mul put
-  Bcontrol Blen 2 sub 2 copy get 2 mul put
-  Bcontrol Blen 1 sub 2 copy get 2 mul put
-  /Ybi /Xbi currentpoint 3 1 roll def def 0 2 Blen 4 sub
-  {/i exch def
-   Bcontrol i get 3 div Bcontrol i 1 add get 3 div
-   Bcontrol i get 3 mul Bcontrol i 2 add get add 6 div
-   Bcontrol i 1 add get 3 mul Bcontrol i 3 add get add 6 div
-   /Xbi Xcont Bcontrol i 2 add get 2 div add def
-   /Ybi Ycont Bcontrol i 3 add get 2 div add def
-   /Xcont Xcont Bcontrol i 2 add get add def
-   /Ycont Ycont Bcontrol i 3 add get add def
-   Xbi currentpoint pop sub Ybi currentpoint exch pop sub rcurveto
-  }for dstroke}if}def
-end
-/ditstart{$DITroff begin
- /nfonts 60 def                        % NFONTS makedev/ditroff dependent!
- /fonts[nfonts{0}repeat]def
- /fontnames[nfonts{()}repeat]def
-/docsave save def
-}def
-
-% character outcalls
-/oc {/pswid exch def /cc exch def /name exch def
-   /ditwid pswid fontsize mul resolution mul 72000 div def
-   /ditsiz fontsize resolution mul 72 div def
-   ocprocs name known{ocprocs name get exec}{name cb}
-   ifelse}def
-/fractm [.65 0 0 .6 0 0] def
-/fraction
- {/fden exch def /fnum exch def gsave /cf currentfont def
-  cf fractm makefont setfont 0 .3 dm 2 copy neg rmoveto
-  fnum show rmoveto currentfont cf setfont(\244)show setfont fden show 
-  grestore ditwid 0 rmoveto} def
-/oce {grestore ditwid 0 rmoveto}def
-/dm {ditsiz mul}def
-/ocprocs 50 dict def ocprocs begin
-(14){(1)(4)fraction}def
-(12){(1)(2)fraction}def
-(34){(3)(4)fraction}def
-(13){(1)(3)fraction}def
-(23){(2)(3)fraction}def
-(18){(1)(8)fraction}def
-(38){(3)(8)fraction}def
-(58){(5)(8)fraction}def
-(78){(7)(8)fraction}def
-(sr){gsave .05 dm .16 dm rmoveto(\326)show oce}def
-(is){gsave 0 .15 dm rmoveto(\362)show oce}def
-(->){gsave 0 .02 dm rmoveto(\256)show oce}def
-(<-){gsave 0 .02 dm rmoveto(\254)show oce}def
-(==){gsave 0 .05 dm rmoveto(\272)show oce}def
-end
-%%BeginResource: font DIThacks
-% DIThacks fonts for some special chars
-50 dict dup begin
-/FontType 3 def
-/FontName /DIThacks def
-/FontMatrix [.001 0.0 0.0 .001 0.0 0.0] def
-/FontBBox [-220 -280 900 900] def% a lie but ...
-/Encoding 256 array def
-0 1 255{Encoding exch /.notdef put}for
-Encoding
- dup 8#040/space put %space
- dup 8#110/rc put %right ceil
- dup 8#111/lt put %left  top curl
- dup 8#112/bv put %bold vert
- dup 8#113/lk put %left  mid curl
- dup 8#114/lb put %left  bot curl
- dup 8#115/rt put %right top curl
- dup 8#116/rk put %right mid curl
- dup 8#117/rb put %right bot curl
- dup 8#120/rf put %right floor
- dup 8#121/lf put %left  floor
- dup 8#122/lc put %left  ceil
- dup 8#140/sq put %square
- dup 8#141/bx put %box
- dup 8#142/ci put %circle
- dup 8#143/br put %box rule
- dup 8#144/rn put %root extender
- dup 8#145/vr put %vertical rule
- dup 8#146/ob put %outline bullet
- dup 8#147/bu put %bullet
- dup 8#150/ru put %rule
- dup 8#151/ul put %underline
- pop
-/DITfd 100 dict def
-/BuildChar{0 begin
- /cc exch def /fd exch def
- /charname fd /Encoding get cc get def
- /charwid fd /Metrics get charname get def
- /charproc fd /CharProcs get charname get def
- charwid 0 fd /FontBBox get aload pop setcachedevice
- 40 setlinewidth
- newpath 0 0 moveto gsave charproc grestore
- end}def
-/BuildChar load 0 DITfd put
-%/UniqueID 5 def
-/CharProcs 50 dict def
-CharProcs begin
-/space{}def
-/.notdef{}def
-/ru{500 0 rls}def
-/rn{0 750 moveto 500 0 rls}def
-/vr{20 800 moveto 0 -770 rls}def
-/bv{20 800 moveto 0 -1000 rls}def
-/br{20 770 moveto 0 -1040 rls}def
-/ul{0 -250 moveto 500 0 rls}def
-/ob{200 250 rmoveto currentpoint newpath 200 0 360 arc closepath stroke}def
-/bu{200 250 rmoveto currentpoint newpath 200 0 360 arc closepath fill}def
-/sq{80 0 rmoveto currentpoint dround newpath moveto
-    640 0 rlineto 0 640 rlineto -640 0 rlineto closepath stroke}def
-/bx{80 0 rmoveto currentpoint dround newpath moveto
-    640 0 rlineto 0 640 rlineto -640 0 rlineto closepath fill}def
-/ci{355 333 rmoveto currentpoint newpath 333 0 360 arc
-    50 setlinewidth stroke}def
-
-/lt{20 -200 moveto 0 550 rlineto currx 800 2cx s4 add exch s4 a4p stroke}def
-/lb{20 800 moveto 0 -550 rlineto currx -200 2cx s4 add exch s4 a4p stroke}def
-/rt{20 -200 moveto 0 550 rlineto currx 800 2cx s4 sub exch s4 a4p stroke}def
-/rb{20 800 moveto 0 -500 rlineto currx -200 2cx s4 sub exch s4 a4p stroke}def
-/lk{20 800 moveto 20 300 -280 300 s4 arcto pop pop 1000 sub
-    currentpoint stroke moveto
-    20 300 4 2 roll s4 a4p 20 -200 lineto stroke}def
-/rk{20 800 moveto 20 300 320 300 s4 arcto pop pop 1000 sub
-    currentpoint stroke moveto
-    20 300 4 2 roll s4 a4p 20 -200 lineto stroke}def
-/lf{20 800 moveto 0 -1000 rlineto s4 0 rls}def
-/rf{20 800 moveto 0 -1000 rlineto s4 neg 0 rls}def
-/lc{20 -200 moveto 0 1000 rlineto s4 0 rls}def
-/rc{20 -200 moveto 0 1000 rlineto s4 neg 0 rls}def
-end
-
-/Metrics 50 dict def Metrics begin
-/.notdef 0 def
-/space 500 def
-/ru 500 def
-/br 0 def
-/lt 250 def
-/lb 250 def
-/rt 250 def
-/rb 250 def
-/lk 250 def
-/rk 250 def
-/rc 250 def
-/lc 250 def
-/rf 250 def
-/lf 250 def
-/bv 250 def
-/ob 350 def
-/bu 350 def
-/ci 750 def
-/bx 750 def
-/sq 750 def
-/rn 500 def
-/ul 500 def
-/vr 0 def
-end
-
-DITfd begin
-/s2 500 def /s4 250 def /s3 333 def
-/a4p{arcto pop pop pop pop}def
-/2cx{2 copy exch}def
-/rls{rlineto stroke}def
-/currx{currentpoint pop}def
-/dround{transform round exch round exch itransform} def
-end
-end
-/DIThacks exch definefont pop
-%%EndResource 
-%%EndProlog
-%%BeginSetup
-ditstart
-(psc)xT
-576 1 1 xr
-%%IncludeResource: font Times-Roman
-1(Times-Roman)xf 1 f
-%%IncludeResource: font Times-Italic
-2(Times-Italic)xf 2 f
-%%IncludeResource: font Times-Bold
-3(Times-Bold)xf 3 f
-%%IncludeResource: font Times-BoldItalic
-4(Times-BoldItalic)xf 4 f
-%%IncludeResource: font Helvetica
-5(Helvetica)xf 5 f
-%%IncludeResource: font Helvetica-Bold
-6(Helvetica-Bold)xf 6 f
-%%IncludeResource: font Courier
-7(Courier)xf 7 f
-%%IncludeResource: font Courier-Bold
-8(Courier-Bold)xf 8 f
-%%IncludeResource: font Symbol
-9(Symbol)xf 9 f
-10(DIThacks)xf 10 f
-10 s
-1 f
-11.00 xi
-%%EndSetup
-
-%%Page: 1 1
-10 s 10 xH 0 xS 1 f
-3 f
-14 s
-1197 1088(An)N
-1368(O\(ND\))X
-1721(Difference)X
-2249(Algorithm)X
-2776(and)X
-2984(Its)X
-3138(Variations)X
-9 f
-3643 1032(*)N
-1 f
-10 s
-2082 1472(EUGENE)N
-2423(W.)X
-2539(MYERS)X
-2 f
-1112 1728(Department)N
-1515(of)X
-1597(Computer)X
-1937(Science,)X
-2223(University)X
-2577(of)X
-2659(Arizona,)X
-2952(Tucson,)X
-3223(AZ)X
-3336(85721,)X
-3576(U.S.A.)X
-3 f
-2230 2112(ABSTRACT)N
-576 2460(The)N
-734(problems)X
-1079(of)X
-1171(\256nding)X
-1434(a)X
-1499(longest)X
-1764(common)X
-2083(subsequence)X
-2534(of)X
-2626(two)X
-2776(sequences)X
-3139(A)X
-3222(and)X
-3375(B)X
-3453(and)X
-3606(a)X
-3671(shortest)X
-3969(edit)X
-4124(script)X
-576 2588(for)N
-707(transforming)X
-1189(A)X
-1275(into)X
-1436(B)X
-1517(have)X
-1705(long)X
-1879(been)X
-2067(known)X
-2324(to)X
-2418(be)X
-2525(dual)X
-2702(problems.)X
-3089(In)X
-3191(this)X
-3342(paper,)X
-3589(they)X
-3763(are)X
-3902(shown)X
-4146(to)X
-4240(be)X
-576 2716(equivalent)N
-959(to)X
-1054(\256nding)X
-1320(a)X
-1388(shortest/longest)X
-1950(path)X
-2134(in)X
-2229(an)X
-2342(edit)X
-2500(graph.)X
-2773(Using)X
-2997(this)X
-3150(perspective,)X
-3587(a)X
-3656(simple)X
-3907(O\(ND\))X
-4168(time)X
-576 2844(and)N
-737(space)X
-957(algorithm)X
-1328(is)X
-1414(developed)X
-1789(where)X
-2032(N)X
-2123(is)X
-2209(the)X
-2349(sum)X
-2524(of)X
-2624(the)X
-2764(lengths)X
-3041(of)X
-3141(A)X
-3232(and)X
-3393(B)X
-3479(and)X
-3640(D)X
-3731(is)X
-3817(the)X
-3957(size)X
-4114(of)X
-4213(the)X
-576 2972(minimum)N
-937(edit)X
-1094(script)X
-1318(for)X
-1449(A)X
-1535(and)X
-1691(B.)X
-1812(The)X
-1973(algorithm)X
-2339(performs)X
-2684(well)X
-2850(when)X
-3060(differences)X
-3463(are)X
-3603(small)X
-3814(\(sequences)X
-4208(are)X
-576 3100(similar\))N
-890(and)X
-1065(is)X
-1165(consequently)X
-1656(fast)X
-1828(in)X
-1941(typical)X
-2219(applications.)X
-2718(The)X
-2897(algorithm)X
-3281(is)X
-3380(shown)X
-3643(to)X
-3756(have)X
-3962(O)X
-4030(\()X
-4063(N)X
-9 f
-4134(+)X
-3 f
-4191(D)X
-7 s
-4253 3068(2)N
-10 s
-4293 3100(\))N
-576 3228(expected-time)N
-1088(performance)X
-1564(under)X
-1803(a)X
-1878(basic)X
-2086(stochastic)X
-2455(model.)X
-2739(A)X
-2832(re\256nement)X
-3237(of)X
-3339(the)X
-3481(algorithm)X
-3854(requires)X
-4174(only)X
-576 3356(O\(N\))N
-770(space,)X
-997(and)X
-1145(the)X
-1272(use)X
-1403(of)X
-1490(suf\256x)X
-1696(trees)X
-1882(leads)X
-2075(to)X
-2162(an)X
-2266(O)X
-2334(\()X
-2367(NlgN)X
-9 f
-2558(+)X
-3 f
-2615(D)X
-7 s
-2677 3324(2)N
-10 s
-2717 3356(\))N
-2764(time)X
-2936(variation.)X
-8 s
-576 3612(KEY)N
-731(WORDS)X
-1088(longest)X
-1296(common)X
-1546(subsequence)X
-2003(shortest)X
-2235(edit)X
-2354(script)X
-2625(edit)X
-2744(graph)X
-3023(\256le)X
-3121(comparison)X
-10 s
-576 3868(1.)N
-656(Introduction)X
-1 f
-696 4024(The)N
-851(problem)X
-1148(of)X
-1245(determining)X
-1662(the)X
-1790(differences)X
-2178(between)X
-2476(two)X
-2626(sequences)X
-2982(of)X
-3079(symbols)X
-3375(has)X
-3512(been)X
-3694(studied)X
-3955(extensively)X
-576 4152([1,8,11,13,16,19,20].)N
-1302(Algorithms)X
-1697(for)X
-1822(the)X
-1951(problem)X
-2249(have)X
-2432(numerous)X
-2779(applications,)X
-3217(including)X
-3550(spelling)X
-3834(correction)X
-4191(sys-)X
-576 4280(tems,)N
-774(\256le)X
-903(comparison)X
-1304(tools,)X
-1506(and)X
-1649(the)X
-1774(study)X
-1974(of)X
-2068(genetic)X
-2328(evolution)X
-2658([4,5,17,18].)X
-3080(Formally,)X
-3421(the)X
-3547(problem)X
-3842(statement)X
-4177(is)X
-4258(to)X
-576 4408(\256nd)N
-725(a)X
-786(longest)X
-1042(common)X
-1347(subsequence)X
-1778(or,)X
-1890(equivalently,)X
-2331(to)X
-2418(\256nd)X
-2567(the)X
-2690(minimum)X
-3024(``script'')X
-3334(of)X
-3425(symbol)X
-3684(deletions)X
-3997(and)X
-4137(inser-)X
-576 4536(tions)N
-757(that)X
-903(transform)X
-1241(one)X
-1384(sequence)X
-1706(into)X
-1857(the)X
-1982(other.)X
-2214(One)X
-2375(of)X
-2469(the)X
-2594(earliest)X
-2853(algorithms)X
-3222(is)X
-3302(by)X
-3409(Wagner)X
-3691(&)X
-3780(Fischer)X
-4043([20])X
-4204(and)X
-576 4664(takes)N
-774(O)X
-838(\()X
-871(N)X
-7 s
-933 4632(2)N
-10 s
-973 4664(\))N
-1033(time)X
-1208(and)X
-1357(space)X
-1569(to)X
-1664(solve)X
-1866(a)X
-1935(generalization)X
-2423(they)X
-2594(call)X
-2743(the)X
-2874(string-to-string)X
-3387(correction)X
-3746(problem.)X
-4086(A)X
-4177(later)X
-576 4792(re\256nement)N
-939(by)X
-1039(Hirschberg)X
-1417([7])X
-1532(delivers)X
-1807(a)X
-1864(longest)X
-2116(common)X
-2417(subsequence)X
-2844(using)X
-3038(only)X
-3201(linear)X
-3405(space.)X
-3645(When)X
-3858(algorithms)X
-4221(are)X
-576 4920(over)N
-750(arbitrary)X
-1058(alphabets,)X
-1412(use)X
-1550(``equal\320unequal'')X
-2197(comparisons,)X
-2653(and)X
-2800(are)X
-2930 0.3125(characterized)AX
-3391(in)X
-3484(terms)X
-3693(of)X
-3791(the)X
-3920(size)X
-4076(of)X
-4173(their)X
-576 5048(input,)N
-788(it)X
-860(has)X
-995(been)X
-1175(shown)X
-1412(that)X
-9 f
-1560(W)X
-1 f
-1628(\()X
-1661(N)X
-7 s
-1723 5016(2)N
-10 s
-1763 5048(\))N
-1818(time)X
-1988(is)X
-2069(necessary)X
-2410([1].)X
-2572(A)X
-2659(``Four)X
-2893(Russians'')X
-3260(approach)X
-3584(leads)X
-3778(to)X
-3869(slightly)X
-4137(better)X
-576 5176(O)N
-640(\()X
-673(N)X
-7 s
-735 5144(2)N
-10 s
-775 5176(lglgN)N
-963(/)X
-991(lgN)X
-1117(\))X
-1191(and)X
-1354(O)X
-1418(\()X
-1451(N)X
-7 s
-1513 5144(2)N
-10 s
-1553 5176(/)N
-1581(lgN)X
-1707(\))X
-1781(time)X
-1969(algorithms)X
-2357(for)X
-2497(arbitrary)X
-2820(and)X
-2982(\256nite)X
-3192(alphabets)X
-3541(respectively)X
-3975([13].)X
-4195(The)X
-576 5304(existence)N
-903(of)X
-998(faster)X
-1205(algorithms)X
-1575(using)X
-1776(other)X
-1969(comparison)X
-2371(formats)X
-2644(is)X
-2726(still)X
-2874(open.)X
-3099(Indeed,)X
-3367(for)X
-3490(algorithms)X
-3861(that)X
-4010(use)X
-4146(``less)X
-576 5432(than\320equal\320greater)N
-1292(than'')X
-1504(comparisons,)X
-9 f
-1949(W)X
-1 f
-2011(\(NlgN\))X
-2263(time)X
-2425(is)X
-2498(the)X
-2616(best)X
-2765(lower)X
-2968(bound)X
-3188(known)X
-3426([9].)X
-8 s
-10 f
-576 5512(hhhhhhhhhhhhhhhhhh)N
-9 f
-576 5600(*)N
-1 f
-624(This)X
-754(work)X
-901(was)X
-1016(supported)X
-1284(in)X
-1350(part)X
-1465(by)X
-1545(the)X
-1639(National)X
-1875(Science)X
-2089(Foundation)X
-2397(under)X
-2558(Grant)X
-2719(MCS82-10096.)X
-10 s
-2381 6176(-)N
-2428(1)X
-2488(-)X
-
-2 p
-%%Page: 2 2
-10 s 10 xH 0 xS 1 f
-696 704(Recent)N
-940(work)X
-1126(improves)X
-1445(upon)X
-1626(the)X
-1746(basic)X
-1933(O)X
-1997(\()X
-2030(N)X
-7 s
-2092 672(2)N
-10 s
-2132 704(\))N
-2181(time)X
-2345(arbitrary)X
-2644(alphabet)X
-2938(algorithm)X
-3271(by)X
-3373(being)X
-3573(sensitive)X
-3875(to)X
-3959(other)X
-4146(prob-)X
-576 832(lem)N
-723(size)X
-875(parameters.)X
-1295(Let)X
-1429(the)X
-1554(output)X
-1785(parameter)X
-2133(L)X
-2208(be)X
-2310(the)X
-2434(length)X
-2660(of)X
-2753(a)X
-2815(longest)X
-3072(common)X
-3378(subsequence)X
-3810(and)X
-3952(let)X
-4058(the)X
-4182(dual)X
-576 960(parameter)N
-920(D)X
-9 f
-1010(=)X
-1 f
-1086(2)X
-1132(\()X
-1165(N)X
-9 f
-1236(-)X
-1 f
-1293(L)X
-1348(\))X
-1397(be)X
-1495(the)X
-1615(length)X
-1837(of)X
-1926(a)X
-1984(shortest)X
-2255(edit)X
-2397(script.)X
-2637(\(It)X
-2735(is)X
-2810(assumed)X
-3109(throughout)X
-3483(this)X
-3621(introduction)X
-4035(that)X
-4178(both)X
-576 1088(strings)N
-832(have)X
-1027(the)X
-1168(same)X
-1376(length)X
-1619(N.\))X
-1787(The)X
-1955(two)X
-2118(best)X
-2290(output-sensitive)X
-2844(algorithms)X
-3229(are)X
-3371(by)X
-3493(Hirschberg)X
-3892([8])X
-4028(and)X
-4186(take)X
-576 1216(O)N
-640(\()X
-673(NL)X
-9 f
-793(+)X
-1 f
-850(NlgN)X
-1034(\))X
-1089(and)X
-1233(O)X
-1297(\()X
-1330(DLlgN)X
-1563(\))X
-1618(time.)X
-1828(An)X
-1954(algorithm)X
-2293(by)X
-2401(Hunt)X
-2589(&)X
-2679(Szymanski)X
-3058([11])X
-3220(takes)X
-3413(O)X
-3477(\()X
-3510(\()X
-3543(R)X
-9 f
-3609(+)X
-1 f
-3666(N)X
-3730(\))X
-3770(lgN)X
-3896(\))X
-3952(time)X
-4123(where)X
-576 1344(the)N
-697(parameter)X
-1042(R)X
-1118(is)X
-1194(the)X
-1315(total)X
-1480(number)X
-1747(of)X
-1836(ordered)X
-2104(pairs)X
-2282(of)X
-2371(positions)X
-2681(at)X
-2761(which)X
-2979(the)X
-3099(two)X
-3241(input)X
-3427(strings)X
-3662(match.)X
-3920(Note)X
-4098(that)X
-4240(all)X
-576 1472(these)N
-761(algorithms)X
-1123(are)X
-9 f
-1242(W)X
-1 f
-1310(\()X
-1343(N)X
-7 s
-1405 1440(2)N
-10 s
-1445 1472(\))N
-1492(or)X
-1579(worse)X
-1791(in)X
-1873(terms)X
-2071(of)X
-2158(N)X
-2236(alone.)X
-696 1743(In)N
-791(practical)X
-1096(situations,)X
-1450(it)X
-1522(is)X
-1603(usually)X
-1862(the)X
-1988(parameter)X
-2338(D)X
-2424(that)X
-2572(is)X
-2653(small.)X
-2895(Programmers)X
-3356(wish)X
-3536(to)X
-3627(know)X
-3834(how)X
-4001(they)X
-4168(have)X
-576 1871(altered)N
-819(a)X
-879(text)X
-1023(\256le.)X
-1189(Biologists)X
-1535(wish)X
-1709(to)X
-1794(know)X
-1995(how)X
-2156(one)X
-2295(DNA)X
-2492(strand)X
-2711(has)X
-2841(mutated)X
-3122(into)X
-3269(another.)X
-3573(For)X
-3707(these)X
-3895(situations,)X
-4244(an)X
-576 1999(O)N
-640(\()X
-673(ND)X
-795(\))X
-842(time)X
-1004(algorithm)X
-1335(is)X
-1408(superior)X
-1691(to)X
-1773(Hirschberg's)X
-2208(algorithms)X
-2570(because)X
-2845(L)X
-2915(is)X
-2989(O)X
-3053(\()X
-3086(N)X
-3150(\))X
-3198(when)X
-3393(D)X
-3472(is)X
-3546(small.)X
-3780(Furthermore,)X
-4222(the)X
-576 2127(approach)N
-895(of)X
-986(Hunt)X
-1170(and)X
-1310(Szymanski)X
-1685([11])X
-1843(is)X
-1920(predicated)X
-2279(on)X
-2383(the)X
-2505(hypothesis)X
-2871(that)X
-3015(R)X
-3092(is)X
-3169(small)X
-3366(in)X
-3452(practice.)X
-3770(While)X
-3989(this)X
-4127(is)X
-4203(fre-)X
-576 2255(quently)N
-838(true,)X
-1005(it)X
-1071(must)X
-1248(be)X
-1346(noted)X
-1546(that)X
-1689(R)X
-1765(has)X
-1895(no)X
-1998(correlation)X
-2369(with)X
-2534(either)X
-2740(the)X
-2861(size)X
-3009(of)X
-3099(the)X
-3220(input)X
-3407(or)X
-3497(the)X
-3618(size)X
-3766(of)X
-3856(the)X
-3977(output)X
-4204(and)X
-576 2383(can)N
-720(be)X
-828(O)X
-892(\()X
-925(N)X
-7 s
-987 2351(2)N
-10 s
-1027 2383(\))N
-1085(in)X
-1178(many)X
-1387(situations.)X
-1764(For)X
-1906(example,)X
-2229(if)X
-2309(10%)X
-2487(of)X
-2585(all)X
-2696(lines)X
-2878(in)X
-2971(a)X
-3038(\256le)X
-3171(are)X
-3301(blank)X
-3510(and)X
-3657(the)X
-3786(\256le)X
-3919(is)X
-4003(compared)X
-576 2511(against)N
-832(itself,)X
-1041(R)X
-1123(is)X
-1205(greater)X
-1458(than)X
-1625(.)X
-1651(01)X
-1737(N)X
-7 s
-1799 2479(2)N
-10 s
-1833 2511(.)N
-1902(For)X
-2042(DNA)X
-2245(molecules,)X
-2619(the)X
-2747(alphabet)X
-3049(size)X
-3204(is)X
-3287(four)X
-3451(implying)X
-3769(that)X
-3919(R)X
-4002(is)X
-4085(at)X
-4173(least)X
-576 2639(.)N
-602(25)X
-688(N)X
-7 s
-750 2607(2)N
-10 s
-804 2639(when)N
-998(an)X
-1094(arbitrary)X
-1391(molecule)X
-1705(is)X
-1778(compared)X
-2115(against)X
-2362(itself)X
-2542(or)X
-2629(a)X
-2685(very)X
-2848(similar)X
-3090(molecule.)X
-696 2910(In)N
-794(this)X
-940(paper)X
-1150(an)X
-1257(O\(ND\))X
-1516(time)X
-1689(algorithm)X
-2031(is)X
-2115(presented.)X
-2494(Our)X
-2650(algorithm)X
-2992(is)X
-3076(simple)X
-3320(and)X
-3467(based)X
-3682(on)X
-3794(an)X
-3902(intuitive)X
-4200(edit)X
-576 3038(graph)N
-781(formalism.)X
-1172(Unlike)X
-1412(others)X
-1630(it)X
-1696(employs)X
-1989(the)X
-2109(``greedy'')X
-2458(design)X
-2689(paradigm)X
-3014(and)X
-3151(exposes)X
-3426(the)X
-3545(relationship)X
-3944(of)X
-4032(the)X
-4151(long-)X
-576 3166(est)N
-690(common)X
-995(subsequence)X
-1426(problem)X
-1718(to)X
-1805(the)X
-1929(single-source)X
-2383(shortest)X
-2658(path)X
-2822(problem.)X
-3155(Another)X
-3444(O\(ND\))X
-3698(algorithm)X
-4035(has)X
-4168(been)X
-576 3294(presented)N
-909(elsewhere)X
-1256([16].)X
-1455(However,)X
-1795(it)X
-1864(uses)X
-2027(a)X
-2088(different)X
-2390(design)X
-2624(paradigm)X
-2952(and)X
-3093(does)X
-3265(not)X
-3392(share)X
-3587(the)X
-3710(following)X
-4045(features.)X
-576 3422(The)N
-742(algorithm)X
-1094(can)X
-1247(be)X
-1364(re\256ned)X
-1628(to)X
-1731(use)X
-1879(only)X
-2062(linear)X
-2286(space,)X
-2526(and)X
-2683(its)X
-2799 0.2917(expected-case)AX
-3292(time)X
-3475(behavior)X
-3797(is)X
-3891(shown)X
-4141(to)X
-4244(be)X
-576 3550(O)N
-640(\()X
-673(N)X
-9 f
-744(+)X
-1 f
-801(D)X
-7 s
-863 3518(2)N
-10 s
-903 3550(\).)N
-991(Moreover,)X
-1348(the)X
-1466(method)X
-1726(admits)X
-1959(an)X
-2055(O)X
-2119(\()X
-2152(NlgN)X
-9 f
-2343(+)X
-1 f
-2400(D)X
-7 s
-2462 3518(2)N
-10 s
-2502 3550(\))N
-2549(time)X
-2711(worst-case)X
-3075(variation.)X
-3420(This)X
-3582(is)X
-3655(asymptotically)X
-4146(supe-)X
-576 3678(rior)N
-712(to)X
-794(previous)X
-1090(algorithms)X
-1452([8,16,20])X
-1766(when)X
-1960(D)X
-2038(is)X
-2111(o\(N\).)X
-696 3949(With)N
-879(the)X
-1000(exception)X
-1335(of)X
-1425(the)X
-1546(O)X
-1610(\()X
-1643(NlgN)X
-9 f
-1834(+)X
-1 f
-1891(D)X
-7 s
-1953 3917(2)N
-10 s
-1993 3949(\))N
-2043(worst-case)X
-2410(variation,)X
-2739(the)X
-2861(algorithms)X
-3227(presented)X
-3559(in)X
-3645(this)X
-3784(paper)X
-3987(are)X
-4110(practi-)X
-576 4077(cal.)N
-733(The)X
-881(basic)X
-1068(O\(ND\))X
-1318(algorithm)X
-1651(served)X
-1883(as)X
-1972(the)X
-2092(basis)X
-2274(for)X
-2390(a)X
-2448(new)X
-2604(implementation)X
-3128(of)X
-3217(the)X
-3337(UNIX)X
-2 f
-3560(diff)X
-1 f
-3688(program)X
-3982([15].)X
-4178(This)X
-576 4205(version)N
-838(usually)X
-1095(runs)X
-1259(two)X
-1405(to)X
-1493(four)X
-1653(times)X
-1852(faster)X
-2057(than)X
-2221(the)X
-2345(System)X
-2606(5)X
-2672(implementation)X
-3200(based)X
-3409(on)X
-3515(the)X
-3639(Hunt)X
-3826(and)X
-3969(Szymanski)X
-576 4333(algorithm)N
-914([10].)X
-1115(However,)X
-1457(there)X
-1645(are)X
-1771(cases)X
-1968(when)X
-2169(D)X
-2254(is)X
-2334(large)X
-2522(where)X
-2746(their)X
-2920(algorithm)X
-3258(is)X
-3338(superior)X
-3627(\(e.g.)X
-3796(for)X
-3916(\256les)X
-4075(that)X
-4221(are)X
-576 4461(completely)N
-962(different,)X
-1289(R=0)X
-1457(and)X
-1603(D=2N\).)X
-1902(The)X
-2058(linear)X
-2272(space)X
-2482(re\256nment)X
-2820(is)X
-2904(roughly)X
-3184(twice)X
-3389(as)X
-3487(slow)X
-3669(as)X
-3767(the)X
-3896(basic)X
-4092(O\(ND\))X
-576 4589(algorithm)N
-914(but)X
-1043(still)X
-1189(competitive)X
-1594(because)X
-1876(it)X
-1947(can)X
-2086(perform)X
-2372(extremely)X
-2720(large)X
-2907(compares)X
-3241(that)X
-3387(are)X
-3512(out)X
-3640(of)X
-3733(the)X
-3857(range)X
-4062(of)X
-4155(other)X
-576 4717(algorithms.)N
-983(For)X
-1119(instance,)X
-1427(two)X
-1572(1.5)X
-1697(million)X
-1952(byte)X
-2115(sequences)X
-2466(were)X
-2648(compared)X
-2990(in)X
-3077(less)X
-3222(than)X
-3385(two)X
-3530(minutes)X
-3808(\(on)X
-3940(a)X
-4001(VAX)X
-4200(785)X
-576 4845(running)N
-845(4.2BSD)X
-1120(UNIX\))X
-1368(even)X
-1540(though)X
-1782(the)X
-1900(difference)X
-2247(was)X
-2392(greater)X
-2636(than)X
-2794(500.)X
-3 f
-576 5101(2.)N
-656(Edit)X
-822(Graphs)X
-1 f
-696 5257(Let)N
-824(A)X
-903(=)X
-969(a)X
-7 s
-1014 5273(1)N
-10 s
-1054 5257(a)N
-7 s
-1099 5273(2)N
-10 s
-1159 5237(.)N
-1199(.)X
-1239(.)X
-1285 5257(a)N
-7 s
-1330 5273(N)N
-10 s
-1397 5257(and)N
-1534(B)X
-1608(=)X
-1675(b)X
-7 s
-1724 5273(1)N
-10 s
-1764 5257(b)N
-7 s
-1813 5273(2)N
-10 s
-1873 5237(.)N
-1913(.)X
-1953(.)X
-1999 5257(b)N
-7 s
-2048 5273(M)N
-10 s
-2126 5257(be)N
-2224(sequences)X
-2572(of)X
-2661(length)X
-2883(N)X
-2963(and)X
-3101(M)X
-3194(respectively.)X
-3644(The)X
-2 f
-3791(edit)X
-3933(graph)X
-1 f
-4146(for)X
-4262(A)X
-576 5385(and)N
-720(B)X
-801(has)X
-936(a)X
-1000(vertex)X
-1229(at)X
-1315(each)X
-1491(point)X
-1683(in)X
-1773(the)X
-1899(grid)X
-2056(\(x,y\),)X
-2258(x)X
-9 f
-(\316)S
-1 f
-2355([0,N])X
-2554(and)X
-2697(y)X
-9 f
-(\316)S
-1 f
-2794([0,M].)X
-3046(The)X
-3198(vertices)X
-3475(of)X
-3569(the)X
-3694(edit)X
-3841(graph)X
-4051(are)X
-4177(con-)X
-576 5513(nected)N
-809(by)X
-912(horizontal,)X
-1280(vertical,)X
-1564(and)X
-1703(diagonal)X
-2002(directed)X
-2285(edges)X
-2492(to)X
-2578(form)X
-2758(a)X
-2818(directed)X
-3101(acyclic)X
-3353(graph.)X
-2 f
-3600(Horizontal)X
-3970(edges)X
-1 f
-4177(con-)X
-576 5641(nect)N
-739(each)X
-916(vertex)X
-1146(to)X
-1237(its)X
-1341(right)X
-1521(neighbor,)X
-1855(i.e.)X
-1982(\(x)X
-9 f
-2049(-)X
-1 f
-2093(1,y\))X
-9 f
-2220 MX
-(->)174 1768 oc
-1 f
-2299(\(x,y\))X
-2482(for)X
-2605(x)X
-9 f
-(\316)S
-1 f
-2702([1,N])X
-2903(and)X
-3047(y)X
-9 f
-(\316)S
-1 f
-3144([0,M].)X
-2 f
-3397(Vertical)X
-3683(edges)X
-1 f
-3894(connect)X
-4172(each)X
-576 5769(vertex)N
-803(to)X
-891(the)X
-1015(neighbor)X
-1326(below)X
-1548(it,)X
-1639(i.e.)X
-1764(\(x,y)X
-9 f
-1891(-)X
-1 f
-1935(1\))X
-9 f
-2002 MX
-(->)174 1768 oc
-1 f
-2081(\(x,y\))X
-2262(for)X
-2383(x)X
-9 f
-(\316)S
-1 f
-2480([0,N])X
-2679(and)X
-2822(y)X
-9 f
-(\316)S
-1 f
-2919([1,M].)X
-3171(If)X
-3252(a)X
-7 s
-3297 5785(x)N
-10 s
-3358 5769(=)N
-3430(b)X
-7 s
-3479 5785(y)N
-10 s
-3540 5769(then)N
-3705(there)X
-3893(is)X
-3973(a)X
-2 f
-4036(diagonal)X
-1 f
-2381 6176(-)N
-2428(2)X
-2488(-)X
-
-3 p
-%%Page: 3 3
-10 s 10 xH 0 xS 1 f
-2 f
-576 704(edge)N
-1 f
-752(connecting)X
-1128(vertex)X
-1353(\(x)X
-9 f
-1420(-)X
-1 f
-1464(1,y)X
-9 f
-(-)S
-1 f
-1608(1\))X
-1699(to)X
-1785(vertex)X
-2009(\(x,y\).)X
-2226(The)X
-2374(points)X
-2592(\(x,y\))X
-2769(for)X
-2886(which)X
-3105(a)X
-7 s
-3150 720(x)N
-10 s
-3207 704(=)N
-3275(b)X
-7 s
-3324 720(y)N
-10 s
-3381 704(are)N
-3503(called)X
-2 f
-3718(match)X
-3937(points)X
-1 f
-4132(.)X
-4195(The)X
-576 832(total)N
-742(number)X
-1011(of)X
-1102(match)X
-1322(points)X
-1541(between)X
-1833(A)X
-1915(and)X
-2055(B)X
-2132(is)X
-2209(the)X
-2332(parameter)X
-2679(R)X
-2757(characterizing)X
-3238(the)X
-3361(Hunt)X
-3546(&)X
-3633(Szymanski)X
-4009(algorithm)X
-576 960([11].)N
-775(It)X
-849(is)X
-927(also)X
-1081(the)X
-1204(number)X
-1474(of)X
-1566(diagonal)X
-1867(edges)X
-2075(in)X
-2162(the)X
-2285(edit)X
-2429(graph)X
-2636(as)X
-2727(diagonal)X
-3027(edges)X
-3234(are)X
-3357(in)X
-3443(one-to-one)X
-3815 0.2404(correspondence)AX
-576 1088(with)N
-738(match)X
-954(points.)X
-1209(Figure)X
-1438(1)X
-1498(depicts)X
-1745(the)X
-1863(edit)X
-2003(graph)X
-2206(for)X
-2320(the)X
-2438(sequences)X
-2784(A)X
-2862(=)X
-2 f
-2927(abcabba)X
-1 f
-3223(and)X
-3359(B)X
-3432(=)X
-2 f
-3497(cbabac)X
-1 f
-3729(.)X
-1228 1280 MXY
-2440 
-2408 
-153.00 
-245.00 
-458.00 
-546.00 
-startFig 
-%!PS-Adobe-2.0
-%%%Title: egraph.fig
-%%%Creator: fig2dev Version 3.1 Patchlevel 1
-%%%CreationDate: Sun Sep 21 15:21:42 1997
-%%%For: gene@bobcat.CS.Arizona.EDU (Gene Myers)
-%%%Orientation: Portrait
-%%%BoundingBox: 153 245 458 546
-%%%Pages: 1
-%%%BeginSetup
-%%%IncludeFeature: *PageSize Letter
-%%%EndSetup
-%%%EndComments
-/$F2psDict 200 dict def
-$F2psDict begin
-$F2psDict /mtrx matrix put
-/col-1 {} def
-/col0 {0.000 0.000 0.000 srgb} bind def
-/col1 {0.000 0.000 1.000 srgb} bind def
-/col2 {0.000 1.000 0.000 srgb} bind def
-/col3 {0.000 1.000 1.000 srgb} bind def
-/col4 {1.000 0.000 0.000 srgb} bind def
-/col5 {1.000 0.000 1.000 srgb} bind def
-/col6 {1.000 1.000 0.000 srgb} bind def
-/col7 {1.000 1.000 1.000 srgb} bind def
-/col8 {0.000 0.000 0.560 srgb} bind def
-/col9 {0.000 0.000 0.690 srgb} bind def
-/col10 {0.000 0.000 0.820 srgb} bind def
-/col11 {0.530 0.810 1.000 srgb} bind def
-/col12 {0.000 0.560 0.000 srgb} bind def
-/col13 {0.000 0.690 0.000 srgb} bind def
-/col14 {0.000 0.820 0.000 srgb} bind def
-/col15 {0.000 0.560 0.560 srgb} bind def
-/col16 {0.000 0.690 0.690 srgb} bind def
-/col17 {0.000 0.820 0.820 srgb} bind def
-/col18 {0.560 0.000 0.000 srgb} bind def
-/col19 {0.690 0.000 0.000 srgb} bind def
-/col20 {0.820 0.000 0.000 srgb} bind def
-/col21 {0.560 0.000 0.560 srgb} bind def
-/col22 {0.690 0.000 0.690 srgb} bind def
-/col23 {0.820 0.000 0.820 srgb} bind def
-/col24 {0.500 0.190 0.000 srgb} bind def
-/col25 {0.630 0.250 0.000 srgb} bind def
-/col26 {0.750 0.380 0.000 srgb} bind def
-/col27 {1.000 0.500 0.500 srgb} bind def
-/col28 {1.000 0.630 0.630 srgb} bind def
-/col29 {1.000 0.750 0.750 srgb} bind def
-/col30 {1.000 0.880 0.880 srgb} bind def
-/col31 {1.000 0.840 0.000 srgb} bind def
-
-end
-save
-129.5 551.5 translate
-1 -1 scale
-
-/clp {closepath} bind def
-/ef {eofill} bind def
-/gr {grestore} bind def
-/gs {gsave} bind def
-/l {lineto} bind def
-/m {moveto} bind def
-/n {newpath} bind def
-/s {stroke} bind def
-/slc {setlinecap} bind def
-/slj {setlinejoin} bind def
-/slw {setlinewidth} bind def
-/srgb {setrgbcolor} bind def
-/rot {rotate} bind def
-/sc {scale} bind def
-/tr {translate} bind def
-/tnt {dup dup currentrgbcolor
-  4 -2 roll dup 1 exch sub 3 -1 roll mul add
-  4 -2 roll dup 1 exch sub 3 -1 roll mul add
-  4 -2 roll dup 1 exch sub 3 -1 roll mul add srgb}
-  bind def
-/shd {dup dup currentrgbcolor 4 -2 roll mul 4 -2 roll mul
-  4 -2 roll mul srgb} bind def
- /DrawEllipse {
-       /endangle exch def
-       /startangle exch def
-       /yrad exch def
-       /xrad exch def
-       /y exch def
-       /x exch def
-       /savematrix mtrx currentmatrix def
-       x y tr xrad yrad sc 0 0 1 startangle endangle arc
-       closepath
-       savematrix setmatrix
-       } def
-
-/$F2psBegin {$F2psDict begin /$F2psEnteredState save def} def
-/$F2psEnd {$F2psEnteredState restore end} def
-%%%EndProlog
-
-$F2psBegin
-10 setmiterlimit
- 0.03000 0.03000 sc
-7.500 slw
-%% Polyline
-n 5207 3812 m 5207 4697 l  5132 4607 l  5207 4832 l  5312 4832 l  5372 4607 l 
- 5297 4697 l  5297 3789 l  5207 3782 l  clp gs 0.80 setgray ef gr  gs col-1 s gr 
-%% Polyline
-n 5254 4939 m 6244 5929 l  6124 5929 l  6379 6049 l  6424 6004 l  6304 5749 l 
- 6304 5854 l  6304 5869 l  5314 4879 l  5254 4924 l  clp gs 0.80 setgray ef gr  gs col-1 s gr 
-%% Polyline
-n 4051 2533 m 5041 3523 l  4921 3523 l  5176 3643 l  5221 3598 l  5101 3343 l 
- 5101 3448 l  5101 3463 l  4111 2473 l  4051 2518 l  clp gs 0.80 setgray ef gr  gs col-1 s gr 
-%% Polyline
-n 6483 6170 m 7473 7160 l  7353 7160 l  7608 7280 l  7653 7235 l  7533 6980 l 
- 7533 7085 l  7533 7100 l  6543 6110 l  6483 6155 l  clp gs 0.80 setgray ef gr  gs col-1 s gr 
-%% Polyline
-n 7708 7328 m 8688 7327 l  8583 7402 l  8808 7327 l  8808 7237 l  8583 7162 l 
- 8688 7237 l  7708 7238 l  7708 7328 l  clp gs 0.80 setgray ef gr  gs col-1 s gr 
-%% Polyline
-n 10010 8612 m 10010 9497 l  9935 9407 l  10010 9632 l  10115 9632 l  10175 9407 l 
- 10100 9497 l  10103 8588 l  10010 8582 l  clp gs 0.80 setgray ef gr  gs col-1 s gr 
-%% Polyline
-n 2633 367 m 3613 366 l  3508 441 l  3733 366 l  3733 276 l  3508 201 l 
- 3613 276 l  2633 277 l  2633 367 l  clp gs 0.80 setgray ef gr  gs col-1 s gr 
-%% Polyline
-n 1707 2528 m 2687 2527 l  2582 2602 l  2807 2527 l  2807 2437 l  2582 2362 l 
- 2687 2437 l  1707 2438 l  1707 2528 l  clp gs 0.80 setgray ef gr  gs col-1 s gr 
-%% Polyline
-n 8858 7340 m 9848 8330 l  9728 8330 l  9983 8450 l  10028 8405 l  9908 8150 l 
- 9908 8255 l  9908 8270 l  8918 7280 l  8858 7325 l  clp gs 0.80 setgray ef gr  gs col-1 s gr 
-%% Polyline
-n 2903 2524 m 3883 2523 l  3778 2598 l  4003 2523 l  4003 2433 l  3778 2358 l 
- 3883 2433 l  2903 2434 l  2903 2524 l  clp gs 0.80 setgray ef gr  gs col-1 s gr 
-%% Ellipse
-n 10052 8477 105 105 0 360 DrawEllipse gs 0.80 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 3624 776 105 105 0 360 DrawEllipse gs 0.80 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 5254 3675 105 105 0 360 DrawEllipse gs 0.80 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 7656 7278 105 105 0 360 DrawEllipse gs 0.80 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 6452 6078 105 105 0 360 DrawEllipse gs 0.80 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Polyline
-n 5254 9679 m 6424 9679 l  gs col-1 s gr 
-n 6289.00 9641.50 m 6424.00 9679.00 l 6289.00 9716.50 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 7656 9681 m 8826 9681 l  gs col-1 s gr 
-n 8691.00 9643.50 m 8826.00 9681.00 l 8691.00 9718.50 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 1654 9679 m 2824 9679 l  gs col-1 s gr 
-n 2689.00 9641.50 m 2824.00 9679.00 l 2689.00 9716.50 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 6454 9679 m 7624 9679 l  gs col-1 s gr 
-n 7489.00 9641.50 m 7624.00 9679.00 l 7489.00 9716.50 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 1654 8479 m 1654 9634 l  gs col-1 s gr 
-n 1691.50 9499.00 m 1654.00 9634.00 l 1616.50 9499.00 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 10053 8481 m 10053 9636 l  gs col-1 s gr 
-n 10090.50 9501.00 m 10053.00 9636.00 l 10015.50 9501.00 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 8856 9678 m 10026 9678 l  gs col-1 s gr 
-n 9891.00 9640.50 m 10026.00 9678.00 l 9891.00 9715.50 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 4054 7279 m 4054 8434 l  gs col-1 s gr 
-n 4091.50 8299.00 m 4054.00 8434.00 l 4016.50 8299.00 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 5254 7279 m 5254 8434 l  gs col-1 s gr 
-n 5291.50 8299.00 m 5254.00 8434.00 l 5216.50 8299.00 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 5254 7279 m 6424 8449 l  gs col-1 s gr 
-n 6355.06 8327.02 m 6424.00 8449.00 l 6302.02 8380.06 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 8856 7281 m 8856 8436 l  gs col-1 s gr 
-n 8893.50 8301.00 m 8856.00 8436.00 l 8818.50 8301.00 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 1654 7279 m 2824 8449 l  gs col-1 s gr 
-n 2755.06 8327.02 m 2824.00 8449.00 l 2702.02 8380.06 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 2854 7279 m 2854 8434 l  gs col-1 s gr 
-n 2891.50 8299.00 m 2854.00 8434.00 l 2816.50 8299.00 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 6454 7279 m 6454 8434 l  gs col-1 s gr 
-n 6491.50 8299.00 m 6454.00 8434.00 l 6416.50 8299.00 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 7654 7279 m 7654 8434 l  gs col-1 s gr 
-n 7691.50 8299.00 m 7654.00 8434.00 l 7616.50 8299.00 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 2854 8479 m 4024 8479 l  gs col-1 s gr 
-n 3889.00 8441.50 m 4024.00 8479.00 l 3889.00 8516.50 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 4054 8479 m 5224 8479 l  gs col-1 s gr 
-n 5089.00 8441.50 m 5224.00 8479.00 l 5089.00 8516.50 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 5254 8479 m 6424 8479 l  gs col-1 s gr 
-n 6289.00 8441.50 m 6424.00 8479.00 l 6289.00 8516.50 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 7656 8481 m 8826 8481 l  gs col-1 s gr 
-n 8691.00 8443.50 m 8826.00 8481.00 l 8691.00 8518.50 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 1654 8479 m 2824 8479 l  gs col-1 s gr 
-n 2689.00 8441.50 m 2824.00 8479.00 l 2689.00 8516.50 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 6454 8479 m 7624 8479 l  gs col-1 s gr 
-n 7489.00 8441.50 m 7624.00 8479.00 l 7489.00 8516.50 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 1654 7279 m 1654 8434 l  gs col-1 s gr 
-n 1691.50 8299.00 m 1654.00 8434.00 l 1616.50 8299.00 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 10053 7281 m 10053 8436 l  gs col-1 s gr 
-n 10090.50 8301.00 m 10053.00 8436.00 l 10015.50 8301.00 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 8856 7281 m 10026 8451 l  gs col-1 s gr 
-n 9957.06 8329.02 m 10026.00 8451.00 l 9904.02 8382.06 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 8856 8478 m 10026 8478 l  gs col-1 s gr 
-n 9891.00 8440.50 m 10026.00 8478.00 l 9891.00 8515.50 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 2854 6079 m 4024 7249 l  gs col-1 s gr 
-n 3955.06 7127.02 m 4024.00 7249.00 l 3902.02 7180.06 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 4054 6079 m 4054 7234 l  gs col-1 s gr 
-n 4091.50 7099.00 m 4054.00 7234.00 l 4016.50 7099.00 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 5254 6079 m 5254 7234 l  gs col-1 s gr 
-n 5291.50 7099.00 m 5254.00 7234.00 l 5216.50 7099.00 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 7656 6081 m 8826 7251 l  gs col-1 s gr 
-n 8757.06 7129.02 m 8826.00 7251.00 l 8704.02 7182.06 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 8856 6081 m 8856 7236 l  gs col-1 s gr 
-n 8893.50 7101.00 m 8856.00 7236.00 l 8818.50 7101.00 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 2854 6079 m 2854 7234 l  gs col-1 s gr 
-n 2891.50 7099.00 m 2854.00 7234.00 l 2816.50 7099.00 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 6454 6079 m 6454 7234 l  gs col-1 s gr 
-n 6491.50 7099.00 m 6454.00 7234.00 l 6416.50 7099.00 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 6454 6079 m 7624 7249 l  gs col-1 s gr 
-n 7555.06 7127.02 m 7624.00 7249.00 l 7502.02 7180.06 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 7654 6079 m 7654 7234 l  gs col-1 s gr 
-n 7691.50 7099.00 m 7654.00 7234.00 l 7616.50 7099.00 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 2854 7279 m 4024 7279 l  gs col-1 s gr 
-n 3889.00 7241.50 m 4024.00 7279.00 l 3889.00 7316.50 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 4054 7279 m 5224 7279 l  gs col-1 s gr 
-n 5089.00 7241.50 m 5224.00 7279.00 l 5089.00 7316.50 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 5254 7279 m 6424 7279 l  gs col-1 s gr 
-n 6289.00 7241.50 m 6424.00 7279.00 l 6289.00 7316.50 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 7656 7281 m 8826 7281 l  gs col-1 s gr 
-n 8691.00 7243.50 m 8826.00 7281.00 l 8691.00 7318.50 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 1654 7279 m 2824 7279 l  gs col-1 s gr 
-n 2689.00 7241.50 m 2824.00 7279.00 l 2689.00 7316.50 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 6454 7279 m 7624 7279 l  gs col-1 s gr 
-n 7489.00 7241.50 m 7624.00 7279.00 l 7489.00 7316.50 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 1654 6079 m 1654 7234 l  gs col-1 s gr 
-n 1691.50 7099.00 m 1654.00 7234.00 l 1616.50 7099.00 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 10053 6081 m 10053 7236 l  gs col-1 s gr 
-n 10090.50 7101.00 m 10053.00 7236.00 l 10015.50 7101.00 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 8856 7278 m 10026 7278 l  gs col-1 s gr 
-n 9891.00 7240.50 m 10026.00 7278.00 l 9891.00 7315.50 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 4054 4879 m 4054 6034 l  gs col-1 s gr 
-n 4091.50 5899.00 m 4054.00 6034.00 l 4016.50 5899.00 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 5254 4879 m 5254 6034 l  gs col-1 s gr 
-n 5291.50 5899.00 m 5254.00 6034.00 l 5216.50 5899.00 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 5254 4879 m 6424 6049 l  gs col-1 s gr 
-n 6355.06 5927.02 m 6424.00 6049.00 l 6302.02 5980.06 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 8856 4881 m 8856 6036 l  gs col-1 s gr 
-n 8893.50 5901.00 m 8856.00 6036.00 l 8818.50 5901.00 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 2630 321 m 3739 321 l  gs col-1 s gr 
-n 3604.00 283.50 m 3739.00 321.00 l 3604.00 358.50 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 1654 4879 m 2824 6049 l  gs col-1 s gr 
-n 2755.06 5927.02 m 2824.00 6049.00 l 2702.02 5980.06 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 4054 8479 m 4054 9634 l  gs col-1 s gr 
-n 4091.50 9499.00 m 4054.00 9634.00 l 4016.50 9499.00 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 2854 4879 m 2854 6034 l  gs col-1 s gr 
-n 2891.50 5899.00 m 2854.00 6034.00 l 2816.50 5899.00 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 6454 4879 m 6454 6034 l  gs col-1 s gr 
-n 6491.50 5899.00 m 6454.00 6034.00 l 6416.50 5899.00 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 7654 4879 m 7654 6034 l  gs col-1 s gr 
-n 7691.50 5899.00 m 7654.00 6034.00 l 7616.50 5899.00 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 2854 6079 m 4024 6079 l  gs col-1 s gr 
-n 3889.00 6041.50 m 4024.00 6079.00 l 3889.00 6116.50 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 4054 6079 m 5224 6079 l  gs col-1 s gr 
-n 5089.00 6041.50 m 5224.00 6079.00 l 5089.00 6116.50 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 5254 6079 m 6424 6079 l  gs col-1 s gr 
-n 6289.00 6041.50 m 6424.00 6079.00 l 6289.00 6116.50 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 7656 6081 m 8826 6081 l  gs col-1 s gr 
-n 8691.00 6043.50 m 8826.00 6081.00 l 8691.00 6118.50 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 1654 6079 m 2824 6079 l  gs col-1 s gr 
-n 2689.00 6041.50 m 2824.00 6079.00 l 2689.00 6116.50 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 6454 6079 m 7624 6079 l  gs col-1 s gr 
-n 7489.00 6041.50 m 7624.00 6079.00 l 7489.00 6116.50 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 1654 4879 m 1654 6034 l  gs col-1 s gr 
-n 1691.50 5899.00 m 1654.00 6034.00 l 1616.50 5899.00 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 10053 4881 m 10053 6036 l  gs col-1 s gr 
-n 10090.50 5901.00 m 10053.00 6036.00 l 10015.50 5901.00 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 8856 4881 m 10026 6051 l  gs col-1 s gr 
-n 9957.06 5929.02 m 10026.00 6051.00 l 9904.02 5982.06 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 8856 6078 m 10026 6078 l  gs col-1 s gr 
-n 9891.00 6040.50 m 10026.00 6078.00 l 9891.00 6115.50 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 2854 3679 m 4024 4849 l  gs col-1 s gr 
-n 3955.06 4727.02 m 4024.00 4849.00 l 3902.02 4780.06 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 4054 3679 m 4054 4834 l  gs col-1 s gr 
-n 4091.50 4699.00 m 4054.00 4834.00 l 4016.50 4699.00 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 5254 3679 m 5254 4834 l  gs col-1 s gr 
-n 5291.50 4699.00 m 5254.00 4834.00 l 5216.50 4699.00 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 7656 3681 m 8826 4851 l  gs col-1 s gr 
-n 8757.06 4729.02 m 8826.00 4851.00 l 8704.02 4782.06 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 8856 3681 m 8856 4836 l  gs col-1 s gr 
-n 8893.50 4701.00 m 8856.00 4836.00 l 8818.50 4701.00 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 2854 3679 m 2854 4834 l  gs col-1 s gr 
-n 2891.50 4699.00 m 2854.00 4834.00 l 2816.50 4699.00 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 6454 3679 m 6454 4834 l  gs col-1 s gr 
-n 6491.50 4699.00 m 6454.00 4834.00 l 6416.50 4699.00 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 6454 3679 m 7624 4849 l  gs col-1 s gr 
-n 7555.06 4727.02 m 7624.00 4849.00 l 7502.02 4780.06 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 7654 3679 m 7654 4834 l  gs col-1 s gr 
-n 7691.50 4699.00 m 7654.00 4834.00 l 7616.50 4699.00 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 2854 4879 m 4024 4879 l  gs col-1 s gr 
-n 3889.00 4841.50 m 4024.00 4879.00 l 3889.00 4916.50 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 4054 4879 m 5224 4879 l  gs col-1 s gr 
-n 5089.00 4841.50 m 5224.00 4879.00 l 5089.00 4916.50 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 5254 4879 m 6424 4879 l  gs col-1 s gr 
-n 6289.00 4841.50 m 6424.00 4879.00 l 6289.00 4916.50 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 7656 4881 m 8826 4881 l  gs col-1 s gr 
-n 8691.00 4843.50 m 8826.00 4881.00 l 8691.00 4918.50 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 1654 4879 m 2824 4879 l  gs col-1 s gr 
-n 2689.00 4841.50 m 2824.00 4879.00 l 2689.00 4916.50 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 6454 4879 m 7624 4879 l  gs col-1 s gr 
-n 7489.00 4841.50 m 7624.00 4879.00 l 7489.00 4916.50 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 1654 3679 m 1654 4834 l  gs col-1 s gr 
-n 1691.50 4699.00 m 1654.00 4834.00 l 1616.50 4699.00 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 10053 3681 m 10053 4836 l  gs col-1 s gr 
-n 10090.50 4701.00 m 10053.00 4836.00 l 10015.50 4701.00 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 8856 4878 m 10026 4878 l  gs col-1 s gr 
-n 9891.00 4840.50 m 10026.00 4878.00 l 9891.00 4915.50 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 4053 2478 m 4053 3633 l  gs col-1 s gr 
-n 4090.50 3498.00 m 4053.00 3633.00 l 4015.50 3498.00 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 4053 2478 m 5223 3648 l  gs col-1 s gr 
-n 5154.06 3526.02 m 5223.00 3648.00 l 5101.02 3579.06 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 5253 2478 m 5253 3633 l  gs col-1 s gr 
-n 5290.50 3498.00 m 5253.00 3633.00 l 5215.50 3498.00 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 8855 2480 m 8855 3635 l  gs col-1 s gr 
-n 8892.50 3500.00 m 8855.00 3635.00 l 8817.50 3500.00 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 2853 2478 m 2853 3633 l  gs col-1 s gr 
-n 2890.50 3498.00 m 2853.00 3633.00 l 2815.50 3498.00 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 6453 2478 m 6453 3633 l  gs col-1 s gr 
-n 6490.50 3498.00 m 6453.00 3633.00 l 6415.50 3498.00 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 7653 2478 m 7653 3633 l  gs col-1 s gr 
-n 7690.50 3498.00 m 7653.00 3633.00 l 7615.50 3498.00 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 2853 3678 m 4023 3678 l  gs col-1 s gr 
-n 3888.00 3640.50 m 4023.00 3678.00 l 3888.00 3715.50 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 4053 3678 m 5223 3678 l  gs col-1 s gr 
-n 5088.00 3640.50 m 5223.00 3678.00 l 5088.00 3715.50 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 5253 3678 m 6423 3678 l  gs col-1 s gr 
-n 6288.00 3640.50 m 6423.00 3678.00 l 6288.00 3715.50 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 7655 3680 m 8825 3680 l  gs col-1 s gr 
-n 8690.00 3642.50 m 8825.00 3680.00 l 8690.00 3717.50 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 1653 3678 m 2823 3678 l  gs col-1 s gr 
-n 2688.00 3640.50 m 2823.00 3678.00 l 2688.00 3715.50 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 6453 3678 m 7623 3678 l  gs col-1 s gr 
-n 7488.00 3640.50 m 7623.00 3678.00 l 7488.00 3715.50 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 1653 2478 m 1653 3633 l  gs col-1 s gr 
-n 1690.50 3498.00 m 1653.00 3633.00 l 1615.50 3498.00 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 10052 2480 m 10052 3635 l  gs col-1 s gr 
-n 10089.50 3500.00 m 10052.00 3635.00 l 10014.50 3500.00 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 8855 3677 m 10025 3677 l  gs col-1 s gr 
-n 9890.00 3639.50 m 10025.00 3677.00 l 9890.00 3714.50 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 7731 2478 m 8901 2478 l  gs col-1 s gr 
-n 8766.00 2440.50 m 8901.00 2478.00 l 8766.00 2515.50 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 8931 2478 m 10101 2478 l  gs col-1 s gr 
-n 9966.00 2440.50 m 10101.00 2478.00 l 9966.00 2515.50 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 2854 2479 m 4024 2479 l  gs col-1 s gr 
-n 3889.00 2441.50 m 4024.00 2479.00 l 3889.00 2516.50 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 4054 2479 m 5224 2479 l  gs col-1 s gr 
-n 5089.00 2441.50 m 5224.00 2479.00 l 5089.00 2516.50 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 5254 2479 m 6424 2479 l  gs col-1 s gr 
-n 6289.00 2441.50 m 6424.00 2479.00 l 6289.00 2516.50 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 6454 2479 m 7624 2479 l  gs col-1 s gr 
-n 7489.00 2441.50 m 7624.00 2479.00 l 7489.00 2516.50 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 1654 2479 m 2824 2479 l  gs col-1 s gr 
-n 2689.00 2441.50 m 2824.00 2479.00 l 2689.00 2516.50 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 4054 8479 m 5224 9649 l  gs col-1 s gr 
-n 5155.06 9527.02 m 5224.00 9649.00 l 5102.02 9580.06 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 5254 8479 m 5254 9634 l  gs col-1 s gr 
-n 5291.50 9499.00 m 5254.00 9634.00 l 5216.50 9499.00 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 8856 8481 m 8856 9636 l  gs col-1 s gr 
-n 8893.50 9501.00 m 8856.00 9636.00 l 8818.50 9501.00 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 2854 8479 m 2854 9634 l  gs col-1 s gr 
-n 2891.50 9499.00 m 2854.00 9634.00 l 2816.50 9499.00 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 6454 8479 m 6454 9634 l  gs col-1 s gr 
-n 6491.50 9499.00 m 6454.00 9634.00 l 6416.50 9499.00 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 7654 8479 m 7654 9634 l  gs col-1 s gr 
-n 7691.50 9499.00 m 7654.00 9634.00 l 7616.50 9499.00 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 2854 9679 m 4024 9679 l  gs col-1 s gr 
-n 3889.00 9641.50 m 4024.00 9679.00 l 3889.00 9716.50 l gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 4054 9679 m 5224 9679 l  gs col-1 s gr 
-n 5089.00 9641.50 m 5224.00 9679.00 l 5089.00 9716.50 l gs col-1 s gr
-%% Ellipse
-n 6454 6079 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 7654 6079 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 6454 6079 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 6456 6081 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 7656 6081 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 6456 6081 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 6456 6081 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 7656 6081 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 10053 6078 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 4054 4879 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 5254 4879 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 4054 4879 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 5254 4879 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 4056 4881 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 5256 4881 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 4056 4881 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 5256 4881 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 4056 4881 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 5256 4881 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 8856 4881 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 8858 4883 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 8858 4883 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 2854 4879 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 2854 4879 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 1654 4879 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 2856 4881 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 2856 4881 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 1656 4881 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 1656 4881 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 2856 4881 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 6454 4879 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 7654 4879 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 6454 4879 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 6456 4881 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 7656 4881 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 6456 4881 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 6456 4881 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 7656 4881 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 10053 4878 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 4053 3678 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 5253 3678 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 4053 3678 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 5253 3678 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 4055 3680 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 5255 3680 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 4055 3680 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 5255 3680 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 4055 3680 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 5255 3680 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 8855 3680 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 8857 3682 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 8857 3682 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 2853 3678 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 2853 3678 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 1653 3678 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 3620 781 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 2855 3680 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-/Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
-10202 2702 m
-gs 1 -1 sc (0) col-1 show gr
-%% Ellipse
-n 2855 3680 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 1655 3680 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 1655 3680 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 2855 3680 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 6453 3678 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 7653 3678 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 6453 3678 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 6455 3680 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 7655 3680 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 6455 3680 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 6455 3680 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 7655 3680 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 10052 3677 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 8928 2478 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 4054 2479 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 2854 2479 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 5254 2479 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 4054 2479 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 6454 2479 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 5254 2479 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 7654 2479 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 6454 2479 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 2854 2479 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 1654 2479 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 1654 2479 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 4054 2479 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 5254 2479 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 6454 2479 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 7654 2479 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 2854 2479 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 10052 2477 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-/Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
-6827 1352 m
-gs 1 -1 sc (A  A  A  A   = B  B  B  B) col-1 show gr
-/Helvetica-Bold findfont 270.00 scalefont setfont
-7082 1434 m
-gs 1 -1 sc (3) col-1 show gr
-/Helvetica-Bold findfont 270.00 scalefont setfont
-7547 1434 m
-gs 1 -1 sc (4) col-1 show gr
-/Helvetica-Bold findfont 270.00 scalefont setfont
-7975 1449 m
-gs 1 -1 sc (5) col-1 show gr
-/Helvetica-Bold findfont 270.00 scalefont setfont
-8402 1450 m
-gs 1 -1 sc (7) col-1 show gr
-/Helvetica-Bold findfont 270.00 scalefont setfont
-9283 1442 m
-gs 1 -1 sc (1) col-1 show gr
-/Helvetica-Bold findfont 270.00 scalefont setfont
-9741 1449 m
-gs 1 -1 sc (3) col-1 show gr
-/Helvetica-Bold findfont 270.00 scalefont setfont
-10198 1450 m
-gs 1 -1 sc (4) col-1 show gr
-/Helvetica-Bold findfont 270.00 scalefont setfont
-10641 1442 m
-gs 1 -1 sc (5) col-1 show gr
-/Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
-3901 451 m
-gs 1 -1 sc (Path) col-1 show gr
-/Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
-3901 901 m
-gs 1 -1 sc (Trace = \(3,1\) \(4,3\) \(5,4\) \(7,5\)) col-1 show gr
-/Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
-3056 1811 m
-gs 1 -1 sc (Edit Script = 1D, 2D, 3IB, 6D 7IC) col-1 show gr
-/Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
-886 1351 m
-gs 1 -1 sc (Common Subsequence = CABA =) col-1 show gr
-%% Ellipse
-n 4054 9679 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 5254 9679 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 4054 9679 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 5254 9679 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 4056 9681 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 5256 9681 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 4056 9681 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 5256 9681 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 4056 9681 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 5256 9681 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 8856 9681 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 8858 9683 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 8858 9683 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 2854 9679 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 2854 9679 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 1654 9679 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 2856 9681 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 2856 9681 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 1656 9681 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 1656 9681 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 2856 9681 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 6454 9679 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 7654 9679 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 6454 9679 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 6456 9681 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 7656 9681 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 6456 9681 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 6456 9681 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 7656 9681 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 10053 9678 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 4054 8479 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 5254 8479 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 4054 8479 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 5254 8479 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 4056 8481 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 5256 8481 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 4056 8481 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 5256 8481 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 4056 8481 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 5256 8481 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 8856 8481 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 8858 8483 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 8858 8483 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 2854 8479 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 2854 8479 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 1654 8479 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 2856 8481 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 2856 8481 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 1656 8481 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 1656 8481 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 2856 8481 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 6454 8479 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 7654 8479 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 6454 8479 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 6456 8481 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 7656 8481 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 6456 8481 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 6456 8481 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 7656 8481 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 10053 8478 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 4054 7279 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 5254 7279 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 4054 7279 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 5254 7279 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 4056 7281 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 5256 7281 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 4056 7281 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 5256 7281 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 4056 7281 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 5256 7281 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 8856 7281 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 8858 7283 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 8858 7283 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 2854 7279 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 2854 7279 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 1654 7279 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 2856 7281 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 2856 7281 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 1656 7281 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 1656 7281 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 2856 7281 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 6454 7279 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 7654 7279 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 6454 7279 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 6456 7281 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 7656 7281 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 6456 7281 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 6456 7281 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 7656 7281 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 10053 7278 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 4054 6079 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 5254 6079 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 4054 6079 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 5254 6079 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 4056 6081 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 5256 6081 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 4056 6081 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 5256 6081 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 4056 6081 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 5256 6081 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 8856 6081 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 8858 6083 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 8858 6083 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 2854 6079 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 2854 6079 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 1654 6079 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 2856 6081 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 2856 6081 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 1656 6081 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 1656 6081 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 2856 6081 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-
-/Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
-1277 9827 m
-gs 1 -1 sc (C) col-1 show gr
-/Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
-1277 8627 m
-gs 1 -1 sc (A) col-1 show gr
-/Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
-1277 7427 m
-gs 1 -1 sc (B) col-1 show gr
-/Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
-1277 6227 m
-gs 1 -1 sc (A) col-1 show gr
-/Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
-1277 5027 m
-gs 1 -1 sc (B) col-1 show gr
-/Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
-1277 3827 m
-gs 1 -1 sc (C) col-1 show gr
-/Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
-2777 2327 m
-gs 1 -1 sc (A) col-1 show gr
-/Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
-3977 2327 m
-gs 1 -1 sc (B) col-1 show gr
-/Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
-5177 2327 m
-gs 1 -1 sc (C) col-1 show gr
-/Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
-6377 2327 m
-gs 1 -1 sc (A) col-1 show gr
-/Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
-7577 2327 m
-gs 1 -1 sc (B) col-1 show gr
-/Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
-8777 2327 m
-gs 1 -1 sc (B) col-1 show gr
-/Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
-9977 2327 m
-gs 1 -1 sc (A) col-1 show gr
-/Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
-10202 10052 m
-gs 1 -1 sc (\(7,6\)) col-1 show gr
-/Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
-827 2402 m
-gs 1 -1 sc (\(0,0\)) col-1 show gr
-/Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
-2777 10127 m
-gs 1 -1 sc (1) col-1 show gr
-/Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
-1652 10127 m
-gs 1 -1 sc (0) col-1 show gr
-/Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
-8777 10127 m
-gs 1 -1 sc (6) col-1 show gr
-/Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
-7577 10127 m
-gs 1 -1 sc (5) col-1 show gr
-/Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
-6377 10127 m
-gs 1 -1 sc (4) col-1 show gr
-/Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
-5177 10127 m
-gs 1 -1 sc (3) col-1 show gr
-/Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
-3977 10127 m
-gs 1 -1 sc (2) col-1 show gr
-/Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
-10202 3827 m
-gs 1 -1 sc (1) col-1 show gr
-/Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
-10202 5027 m
-gs 1 -1 sc (2) col-1 show gr
-/Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
-10202 7427 m
-gs 1 -1 sc (4) col-1 show gr
-/Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
-10202 8627 m
-gs 1 -1 sc (5) col-1 show gr
-/Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
-10202 6302 m
-gs 1 -1 sc (3) col-1 show gr
-showpage
-%%%Page: 1 1
-$F2psEnd
-restore
-endFig 
-3 f
-2112 3944(Fig.)N
-2263(1.)X
-1 f
-2343(An)X
-2461(edit)X
-2601(graph)X
-696 4164(A)N
-2 f
-786(trace)X
-1 f
-983(of)X
-1082(length)X
-1314(L)X
-1395(is)X
-1480(a)X
-1548(sequence)X
-1875(of)X
-1974(L)X
-2055(match)X
-2283(points,)X
-2530(\()X
-2563(x)X
-7 s
-2612 4180(1)N
-10 s
-2652 4164(,)N
-2678(y)X
-7 s
-2727 4180(1)N
-10 s
-2767 4164(\))N
-2800(\()X
-2833(x)X
-7 s
-2882 4180(2)N
-10 s
-2922 4164(,)N
-2948(y)X
-7 s
-2997 4180(2)N
-10 s
-3037 4164(\))N
-3097 4144(.)N
-3137(.)X
-3177(.)X
-3223 4164(\()N
-3256(x)X
-7 s
-3305 4180(L)N
-10 s
-3351 4164(,)N
-3377(y)X
-7 s
-3426 4180(L)N
-10 s
-3472 4164(\),)N
-3551(such)X
-3730(that)X
-3882(x)X
-7 s
-3931 4180(i)N
-10 s
-3966 4164(<)N
-4024(x)X
-7 s
-4073 4180(i)N
-9 f
-4098(+)X
-1 f
-4138(1)X
-10 s
-4204 4164(and)N
-576 4292(y)N
-7 s
-625 4308(i)N
-10 s
-660 4292(<)N
-718(y)X
-7 s
-767 4308(i)N
-9 f
-792(+)X
-1 f
-832(1)X
-10 s
-890 4292(for)N
-1008(successive)X
-1371(points)X
-1590(\(x)X
-7 s
-1666 4308(i)N
-10 s
-1688 4292(,y)N
-7 s
-1757 4308(i)N
-10 s
-1779 4292(\))N
-1830(and)X
-1970(\(x)X
-7 s
-2046 4308(i)N
-9 f
-2071(+)X
-1 f
-2111(1)X
-10 s
-2145 4292(,y)N
-7 s
-2214 4308(i)N
-9 f
-2239(+)X
-1 f
-2279(1)X
-10 s
-2313 4292(\),)N
-2384(i)X
-9 f
-2406(\316)X
-1 f
-2463([1,L)X
-9 f
-2599(-)X
-1 f
-2643(1].)X
-2774(Every)X
-2990(trace)X
-3171(is)X
-3248(in)X
-3334(exact)X
-3528 0.2404(correspondence)AX
-4057(with)X
-4222(the)X
-576 4420(diagonal)N
-873(edges)X
-1077(of)X
-1165(a)X
-1222(path)X
-1381(in)X
-1464(the)X
-1584(edit)X
-1726(graph)X
-1931(from)X
-2109(\(0,0\))X
-2285(to)X
-2369(\(N,M\).)X
-2634(The)X
-2781(sequence)X
-3098(of)X
-3187(match)X
-3405(points)X
-3622(visited)X
-3857(in)X
-3941(traversing)X
-4284(a)X
-576 4548(path)N
-751(from)X
-944(start)X
-1119(to)X
-1218(\256nish)X
-1432(is)X
-1522(easily)X
-1746(veri\256ed)X
-2028(to)X
-2127(be)X
-2240(a)X
-2313(trace.)X
-2547(Note)X
-2740(that)X
-2897(L)X
-2983(is)X
-3073(the)X
-3208(number)X
-3490(of)X
-3593(diagonal)X
-3905(edges)X
-4124(in)X
-4222(the)X
-576 4676(corresponding)N
-1064(path.)X
-1272(To)X
-1391(construct)X
-1715(a)X
-1781(path)X
-1949(from)X
-2135(a)X
-2201(trace,)X
-2408(take)X
-2572(the)X
-2700(sequence)X
-3025(of)X
-3122(diagonal)X
-3428(edges)X
-3641(corresponding)X
-4130(to)X
-4222(the)X
-576 4804(match)N
-796(points)X
-1015(of)X
-1106(the)X
-1228(trace)X
-1409(and)X
-1549(connect)X
-1823(successive)X
-2186(diagonals)X
-2517(with)X
-2683(a)X
-2743(series)X
-2950(of)X
-3041(horizontal)X
-3390(and)X
-3530(vertical)X
-3795(edges.)X
-4042(This)X
-4208(can)X
-576 4932(always)N
-828(be)X
-933(done)X
-1118(as)X
-1214(x)X
-7 s
-1263 4948(i)N
-10 s
-1298 4932(<)N
-1356(x)X
-7 s
-1405 4948(i)N
-9 f
-1430(+)X
-1 f
-1470(1)X
-10 s
-1533 4932(and)N
-1678(y)X
-7 s
-1727 4948(i)N
-10 s
-1762 4932(<)N
-1820(y)X
-7 s
-1869 4948(i)N
-9 f
-1894(+)X
-1 f
-1934(1)X
-10 s
-1998 4932(for)N
-2122(successive)X
-2491(match)X
-2717(points.)X
-2982(Note)X
-3168(that)X
-3318(several)X
-3576(paths)X
-3775(differing)X
-4086(only)X
-4258(in)X
-576 5060(their)N
-743(non-diagonal)X
-1186(edges)X
-1389(can)X
-1521(correspond)X
-1898(to)X
-1980(a)X
-2036(given)X
-2234(trace.)X
-2451(Figure)X
-2680(1)X
-2740(illustrates)X
-3071(this)X
-3206(relation)X
-3471(between)X
-3759(paths)X
-3948(and)X
-4084(traces.)X
-2381 6176(-)N
-2428(3)X
-2488(-)X
-
-4 p
-%%Page: 4 4
-10 s 10 xH 0 xS 1 f
-696 704(A)N
-2 f
-774(subsequence)X
-1 f
-1200(of)X
-1287(a)X
-1343(string)X
-1545(is)X
-1618(any)X
-1754(string)X
-1956(obtained)X
-2252(by)X
-2352(deleting)X
-2630(zero)X
-2789(or)X
-2876(more)X
-3061(symbols)X
-3347(from)X
-3523(the)X
-3641(given)X
-3839(string.)X
-4081(A)X
-2 f
-4159(com-)X
-576 832(mon)N
-735(subsequence)X
-1 f
-1162(of)X
-1249(two)X
-1389(strings,)X
-1642(A)X
-1720(and)X
-1856(B,)X
-1949(is)X
-2022(a)X
-2078(subsequence)X
-2504(of)X
-2591(both.)X
-2793(Each)X
-2974(trace)X
-3151(gives)X
-3340(rise)X
-3476(to)X
-3558(a)X
-3614(common)X
-3914(subsequence)X
-576 960(of)N
-667(A)X
-749(and)X
-889(B)X
-966(and)X
-1106(vice)X
-1264(versa.)X
-1499(Speci\256cally,)X
-1922(a)X
-7 s
-1967 976(x)N
-4 s
-2000 987(1)N
-10 s
-2032 960(a)N
-7 s
-2077 976(x)N
-4 s
-2110 987(2)N
-10 s
-2162 940(.)N
-2202(.)X
-2242(.)X
-2288 960(a)N
-7 s
-2333 976(x)N
-4 s
-2366 987(L)N
-10 s
-2421 960(=)N
-2491(b)X
-7 s
-2540 976(y)N
-4 s
-2573 987(1)N
-10 s
-2605 960(b)N
-7 s
-2654 976(y)N
-4 s
-2687 987(2)N
-10 s
-2739 940(.)N
-2779(.)X
-2819(.)X
-2865 960(b)N
-7 s
-2914 976(y)N
-4 s
-2947 987(L)N
-10 s
-3002 960(is)N
-3080(a)X
-3141(common)X
-3446(subsequence)X
-3877(of)X
-3969(A)X
-4052(and)X
-4193(B)X
-4271(if)X
-576 1099(and)N
-712(only)X
-874(if)X
-943(\()X
-976(x)X
-7 s
-1025 1115(1)N
-10 s
-1065 1099(,)N
-1091(y)X
-7 s
-1140 1115(1)N
-10 s
-1180 1099(\))N
-1213(\()X
-1246(x)X
-7 s
-1295 1115(2)N
-10 s
-1335 1099(,)N
-1361(y)X
-7 s
-1410 1115(2)N
-10 s
-1450 1099(\))N
-1510 1079(.)N
-1550(.)X
-1590(.)X
-1636 1099(\()N
-1669(x)X
-7 s
-1718 1115(L)N
-10 s
-1764 1099(,)N
-1790(y)X
-7 s
-1839 1115(L)N
-10 s
-1885 1099(\))N
-1932(is)X
-2005(a)X
-2061(trace)X
-2238(of)X
-2325(A)X
-2403(and)X
-2539(B.)X
-696 1255(An)N
-2 f
-815(edit)X
-956(script)X
-1 f
-1159(for)X
-1274(A)X
-1353(and)X
-1490(B)X
-1564(is)X
-1638(a)X
-1695(set)X
-1805(of)X
-1893(insertion)X
-2194(and)X
-2332(deletion)X
-2612(commands)X
-2981(that)X
-3123(transform)X
-3457(A)X
-3537(into)X
-3683(B.)X
-3798(The)X
-2 f
-3945(delete)X
-4159(com-)X
-576 1383(mand)N
-1 f
-776(``x)X
-2 f
-876(D)X
-1 f
-934('')X
-1010(deletes)X
-1255(the)X
-1375(symbol)X
-1632(a)X
-7 s
-1677 1399(x)N
-10 s
-1733 1383(from)N
-1911(A.)X
-2031(The)X
-2 f
-2178(insert)X
-2381(command)X
-1 f
-2714(``x)X
-2833(I)X
-2885(b)X
-7 s
-2934 1399(1)N
-10 s
-2974 1383(,)N
-3000(b)X
-7 s
-3049 1399(2)N
-10 s
-3089 1383(,)N
-3135 1363(.)N
-3175(.)X
-3215(.)X
-3261 1383(b)N
-7 s
-3310 1399(t)N
-10 s
-3332 1383('')N
-3407(inserts)X
-3637(the)X
-3756(sequence)X
-4072(of)X
-4160(sym-)X
-576 1511(bols)N
-737(b)X
-7 s
-786 1527(1)N
-10 s
-846 1491(.)N
-886(.)X
-926(.)X
-972 1511(b)N
-7 s
-1021 1527(t)N
-10 s
-1071 1511(immediately)N
-1499(after)X
-1675(a)X
-7 s
-1720 1527(x)N
-10 s
-1754 1511(.)N
-1823(Script)X
-2043(commands)X
-2419(refer)X
-2601(to)X
-2692(symbol)X
-2956(positions)X
-3273(within)X
-3506(A)X
-3593(before)X
-3828(any)X
-3973(commands)X
-576 1639(have)N
-756(been)X
-936(performed.)X
-1338(One)X
-1499(must)X
-1681(think)X
-1872(of)X
-1966(the)X
-2091(set)X
-2207(of)X
-2301(commands)X
-2675(in)X
-2764(a)X
-2827(script)X
-3032(as)X
-3126(being)X
-3331(executed)X
-3644(simultaneously.)X
-4195(The)X
-576 1767(length)N
-796(of)X
-883(a)X
-939(script)X
-1137(is)X
-1210(the)X
-1328(number)X
-1593(of)X
-1680(symbols)X
-1966(inserted)X
-2240(and)X
-2376(deleted.)X
-696 1923(Every)N
-910(trace)X
-1089(corresponds)X
-1499(uniquely)X
-1801(to)X
-1885(an)X
-1983(edit)X
-2125(script.)X
-2365(Let)X
-2494(\()X
-2527(x)X
-7 s
-2576 1939(1)N
-10 s
-2616 1923(,)N
-2642(y)X
-7 s
-2691 1939(1)N
-10 s
-2731 1923(\))N
-2764(\()X
-2797(x)X
-7 s
-2846 1939(2)N
-10 s
-2886 1923(,)N
-2912(y)X
-7 s
-2961 1939(2)N
-10 s
-3001 1923(\))N
-3061 1903(.)N
-3101(.)X
-3141(.)X
-3187 1923(\()N
-3220(x)X
-7 s
-3269 1939(L)N
-10 s
-3315 1923(,)N
-3341(y)X
-7 s
-3390 1939(L)N
-10 s
-3436 1923(\))N
-3485(be)X
-3583(a)X
-3641(trace.)X
-3860(Let)X
-3989(y)X
-7 s
-4038 1939(0)N
-10 s
-9 f
-4085 1923(=)N
-1 f
-4142(0)X
-4204(and)X
-576 2051(y)N
-7 s
-625 2067(L)N
-9 f
-668(+)X
-1 f
-708(1)X
-10 s
-9 f
-755 2051(=)N
-1 f
-812(M)X
-9 f
-896(+)X
-1 f
-953(1.)X
-1102(The)X
-1295(associated)X
-1693(script)X
-1939(consists)X
-2260(of)X
-2395(the)X
-2561(commands:)X
-2998(``x)X
-2 f
-3098(D)X
-1 f
-3156('')X
-3278(for)X
-3440(x)X
-9 f
-3486(\316)X
-1 f
-3504(/)X
-3549({x)X
-7 s
-3636 2067(1)N
-10 s
-3676 2051(,)N
-3702(x)X
-7 s
-3751 2067(2)N
-10 s
-3791 2051(,)N
-3837 2031(.)N
-3877(.)X
-3917(.)X
-3963 2051(,)N
-3989(x)X
-7 s
-4038 2067(L)N
-10 s
-4078 2051(},)N
-4204(and)X
-576 2179(``x)N
-7 s
-679 2195(k)N
-10 s
-738 2179(I)N
-790(b)X
-7 s
-839 2195(y)N
-4 s
-872 2206(k)N
-7 s
-9 f
-901 2195(+)N
-1 f
-941(1)X
-10 s
-981 2179(,)N
-1027 2159(.)N
-1067(.)X
-1107(.)X
-1153 2179(,)N
-1179(b)X
-7 s
-1228 2195(y)N
-4 s
-1261 2206(k)N
-9 f
-1282(+)X
-1 f
-1305(1)X
-7 s
-9 f
-1334 2195(-)N
-1 f
-1374(1)X
-10 s
-1408 2179('')N
-1486(for)X
-1605(k)X
-1670(such)X
-1842(that)X
-1987(y)X
-7 s
-2036 2195(k)N
-10 s
-9 f
-2083 2179(+)N
-1 f
-2140(1)X
-2193(<)X
-2251(y)X
-7 s
-2300 2195(k)N
-9 f
-2337(+)X
-1 f
-2377(1)X
-10 s
-2411 2179(.)N
-2476(The)X
-2626(script)X
-2829(deletes)X
-3077(N)X
-9 f
-3148(-)X
-1 f
-3205(L)X
-3279(symbols)X
-3570(and)X
-3711(inserts)X
-3945(M)X
-9 f
-4029(-)X
-1 f
-4086(L)X
-4160(sym-)X
-576 2318(bols.)N
-770(So)X
-875(for)X
-990(every)X
-1190(trace)X
-1368(of)X
-1456(length)X
-1677(L)X
-1747(there)X
-1929(is)X
-2003(a)X
-2060(corresponding)X
-2540(script)X
-2739(of)X
-2827(length)X
-3047(D)X
-3125(=)X
-3190(N+M)X
-9 f
-(-)S
-1 f
-3408(2L.)X
-3557(To)X
-3666(map)X
-3824(an)X
-3920(edit)X
-4060(script)X
-4258(to)X
-576 2446(a)N
-632(trace,)X
-829(simply)X
-1066(perform)X
-1345(all)X
-1445(delete)X
-1657(commands)X
-2024(on)X
-2124(A,)X
-2222(observe)X
-2492(that)X
-2632(the)X
-2750(result)X
-2948(is)X
-3021(a)X
-3078(common)X
-3379(subsequence)X
-3806(of)X
-3894(A)X
-3973(and)X
-4110(B,)X
-4204(and)X
-576 2574(then)N
-740(map)X
-904(the)X
-1027(subsequence)X
-1458(to)X
-1545(its)X
-1645(unique)X
-1888(trace.)X
-2110(Note)X
-2291(that)X
-2436(inverting)X
-2750(the)X
-2873(action)X
-3094(of)X
-3186(the)X
-3309(insert)X
-3512(commands)X
-3884(gives)X
-4078(a)X
-4139(set)X
-4253(of)X
-576 2702(delete)N
-788(commands)X
-1155(that)X
-1295(map)X
-1453(B)X
-1526(to)X
-1608(the)X
-1726(same)X
-1911(common)X
-2211(subsequence.)X
-696 2858(Common)N
-1019(subsequences,)X
-1502(edit)X
-1648(scripts,)X
-1903(traces,)X
-2137(and)X
-2279(paths)X
-2474(from)X
-2656(\(0,0\))X
-2837(to)X
-2926(\(N,M\))X
-3156(in)X
-3245(the)X
-3370(edit)X
-3517(graph)X
-3727(are)X
-3853(all)X
-3960(isomorphic)X
-576 2986(formalisms.)N
-1002(The)X
-1153(edges)X
-1362(of)X
-1455(every)X
-1660(path)X
-1824(have)X
-2002(the)X
-2126(following)X
-2463(direct)X
-2672(interpretations)X
-3161(in)X
-3249(terms)X
-3453(of)X
-3546(the)X
-3670(corresponding)X
-4155(com-)X
-576 3114(mon)N
-746(subsequence)X
-1180(and)X
-1324(edit)X
-1472(script.)X
-1718(Each)X
-1907(diagonal)X
-2211(edge)X
-2391(ending)X
-2637(at)X
-2724(\(x,y\))X
-2907(gives)X
-3105(a)X
-3170(symbol,)X
-3454(a)X
-7 s
-3499 3130(x)N
-10 s
-3562 3114(\(=)N
-3663(b)X
-7 s
-3712 3130(y)N
-10 s
-3746 3114(\),)N
-3822(in)X
-3913(the)X
-4040(common)X
-576 3242(subsequence;)N
-1035(each)X
-1214(horizontal)X
-1570(edge)X
-1753(to)X
-1846(point)X
-2041(\(x,y\))X
-2226(corresponds)X
-2645(to)X
-2737(the)X
-2865(delete)X
-3087(command)X
-3433(``x)X
-3552(D'';)X
-3716(and)X
-3862(a)X
-3928(sequence)X
-4253(of)X
-576 3370(vertical)N
-847(edges)X
-1060(from)X
-1246(\(x,y\))X
-1430(to)X
-1522(\(x,z\))X
-1702(corresponds)X
-2120(to)X
-2212(the)X
-2341(insert)X
-2550(command,)X
-2917(``x)X
-3036(I)X
-3088(b)X
-7 s
-3137 3386(y)N
-9 f
-3174(+)X
-1 f
-3214(1)X
-10 s
-3254 3370(,)N
-3300 3350(.)N
-3340(.)X
-3380(.)X
-3426 3370(,)N
-3452(b)X
-7 s
-3501 3386(z)N
-10 s
-3532 3370(''.)N
-3657(Thus)X
-3848(the)X
-3977(number)X
-4253(of)X
-576 3498(vertical)N
-838(and)X
-975(horizontal)X
-1321(edges)X
-1525(in)X
-1608(the)X
-1727(path)X
-1886(is)X
-1960(the)X
-2079(length)X
-2300(of)X
-2388(its)X
-2483(corresponding)X
-2962(script,)X
-3180(the)X
-3298(number)X
-3563(of)X
-3650(diagonal)X
-3946(edges)X
-4149(is)X
-4222(the)X
-576 3626(length)N
-798(of)X
-887(its)X
-984(corresponding)X
-1465(subsequence,)X
-1913(and)X
-2051(the)X
-2171(total)X
-2335(number)X
-2602(of)X
-2691(edges)X
-2896(is)X
-2972(N+M)X
-9 f
-(-)S
-1 f
-3190(L.)X
-3302(Figure)X
-3534(1)X
-3597(illustrates)X
-3931(these)X
-4119(obser-)X
-576 3754(vations.)N
-696 3910(The)N
-841(problem)X
-1128(of)X
-1215(\256nding)X
-1461(a)X
-2 f
-1517(longest)X
-1768(common)X
-2060(subsequence)X
-1 f
-2486(\(LCS\))X
-2707(is)X
-2781(equivalent)X
-3136(to)X
-3219(\256nding)X
-3466(a)X
-3523(path)X
-3682(from)X
-3859(\(0,0\))X
-4034(to)X
-4117(\(N,M\))X
-576 4038(with)N
-744(the)X
-868(maximum)X
-1218(number)X
-1488(of)X
-1580(diagonal)X
-1881(edges.)X
-2129(The)X
-2279(problem)X
-2571(of)X
-2663(\256nding)X
-2914(a)X
-2 f
-2975(shortest)X
-3253(edit)X
-3398(script)X
-1 f
-3605(\(SES\))X
-3821(is)X
-3899(equivalent)X
-4258(to)X
-576 4166(\256nding)N
-824(a)X
-882(path)X
-1042(from)X
-1220(\(0,0\))X
-1396(to)X
-1480(\(N,M\))X
-1706(with)X
-1871(the)X
-1992(minimum)X
-2325(number)X
-2593(of)X
-2683(non-diagonal)X
-3129(edges.)X
-3375(These)X
-3590(are)X
-3712(dual)X
-3873(problems)X
-4194(as)X
-4284(a)X
-576 4294(path)N
-738(with)X
-904(the)X
-1026(maximum)X
-1374(number)X
-1643(of)X
-1734(diagonal)X
-2033(edges)X
-2239(has)X
-2369(the)X
-2490(minimal)X
-2779(number)X
-3047(of)X
-3137(non-diagonal)X
-3583(edges)X
-3789(\(D+2L)X
-4031(=)X
-4099(M+N\).)X
-576 4422(Consider)N
-891(adding)X
-1135(a)X
-1197(weight)X
-1441(or)X
-1534(cost)X
-1690(to)X
-1779(every)X
-1985(edge.)X
-2204(Give)X
-2387(diagonal)X
-2690(edges)X
-2900(weight)X
-3145(0)X
-3212(and)X
-3355(non-diagonal)X
-3805(edges)X
-4015(weight)X
-4260(1.)X
-576 4550(The)N
-724(LCS/SES)X
-1052(problem)X
-1342(is)X
-1418(equivalent)X
-1774(to)X
-1858(\256nding)X
-2106(a)X
-2164(minimum-cost)X
-2652(path)X
-2812(from)X
-2990(\(0,0\))X
-3166(to)X
-3250(\(N,M\))X
-3475(in)X
-3559(the)X
-3679(weighted)X
-3995(edit)X
-4137(graph)X
-576 4678(and)N
-712(is)X
-785(thus)X
-938(a)X
-994(special)X
-1237(instance)X
-1520(of)X
-1607(the)X
-1725(single-source)X
-2173(shortest)X
-2442(path)X
-2600(problem.)X
-3 f
-576 4934(3.)N
-656(An)X
-778(O\(\(M+N\)D\))X
-1206(Greedy)X
-1480(Algorithm)X
-1 f
-696 5090(The)N
-853(problem)X
-1152(of)X
-1251(\256nding)X
-1509(a)X
-1578(shortest)X
-1860(edit)X
-2013(script)X
-2224(reduces)X
-2503(to)X
-2598(\256nding)X
-2857(a)X
-2926(path)X
-3097(from)X
-3286(\(0,0\))X
-3473(to)X
-3568(\(N,M\))X
-3804(with)X
-3979(the)X
-4110(fewest)X
-576 5218(number)N
-849(of)X
-944(horizontal)X
-1297(and)X
-1441(vertical)X
-1710(edges.)X
-1961(Let)X
-2095(a)X
-2158(D-path)X
-2408(be)X
-2511(a)X
-2574(path)X
-2739(starting)X
-3006(at)X
-3091(\(0,0\))X
-3272(that)X
-3419(has)X
-3553(exactly)X
-3812(D)X
-3897(non-diagonal)X
-576 5346(edges.)N
-821(A)X
-901(0-path)X
-1128(must)X
-1305(consist)X
-1549(solely)X
-1762(of)X
-1851(diagonal)X
-2149(edges.)X
-2394(By)X
-2509(a)X
-2567(simple)X
-2802(induction,)X
-3146(it)X
-3212(follows)X
-3474(that)X
-3616(a)X
-3674(D-path)X
-3920(must)X
-4098(consist)X
-576 5474(of)N
-670(a)X
-733(\(D)X
-9 f
-831(-)X
-1 f
-888(1\)-path)X
-1147(followed)X
-1459(by)X
-1566(a)X
-1628(non-diagonal)X
-2077(edge)X
-2255(and)X
-2397(then)X
-2561(a)X
-2623(possibly)X
-2915(empty)X
-3141(sequence)X
-3462(of)X
-3555(diagonal)X
-3857(edges)X
-4066(called)X
-4284(a)X
-2 f
-576 5602(snake)N
-1 f
-759(.)X
-696 5758(Number)N
-983(the)X
-1105(diagonals)X
-1436(in)X
-1522(the)X
-1644(grid)X
-1797(of)X
-1888(edit)X
-2032(graph)X
-2239(vertices)X
-2513(so)X
-2608(that)X
-2752(diagonal)X
-3052(k)X
-3116(consists)X
-3393(of)X
-3484(the)X
-3606(points)X
-3826(\(x,y\))X
-4005(for)X
-4124(which)X
-576 5886(x)N
-9 f
-629(-)X
-1 f
-686(y)X
-9 f
-758(=)X
-1 f
-834(k.)X
-943(With)X
-1132(this)X
-1276(de\256nition)X
-1611(the)X
-1738(diagonals)X
-2074(are)X
-2202(numbered)X
-2552(from)X
-9 f
-2737(-)X
-1 f
-2781(M)X
-2880(to)X
-2970(N.)X
-3096(Note)X
-3280(that)X
-3428(a)X
-3492(vertical)X
-3761(\(horizontal\))X
-4168(edge)X
-2381 6176(-)N
-2428(4)X
-2488(-)X
-
-5 p
-%%Page: 5 5
-10 s 10 xH 0 xS 1 f
-576 704(with)N
-739(start)X
-898(point)X
-1083(on)X
-1184(diagonal)X
-1481(k)X
-1542(has)X
-1670(end)X
-1807(point)X
-1992(on)X
-2093(diagonal)X
-2390(k)X
-9 f
-2443(-)X
-1 f
-2500(1)X
-2561(\(k)X
-9 f
-2641(+)X
-1 f
-2698(1\))X
-2786(and)X
-2923(a)X
-2980(snake)X
-3184(remains)X
-3459(on)X
-3560(the)X
-3679(diagonal)X
-3976(in)X
-4059(which)X
-4276(it)X
-576 832(starts.)N
-3 f
-576 988(Lemma)N
-859(1)X
-1 f
-(:)S
-996(A)X
-1074(D-path)X
-1317(must)X
-1492(end)X
-1628(on)X
-1728(diagonal)X
-2024(k)X
-9 f
-2084(\316)X
-1 f
-2161({)X
-9 f
-2231(-)X
-1 f
-2288(D)X
-2352(,)X
-9 f
-2404(-)X
-1 f
-2461(D)X
-9 f
-2532(+)X
-1 f
-2589(2)X
-2635(,)X
-2700 968(.)N
-2740(.)X
-2780(.)X
-2845 988(D)N
-9 f
-2916(-)X
-1 f
-2973(2)X
-3019(,)X
-3064(D)X
-3147(}.)X
-3 f
-576 1144(Proof)N
-1 f
-768(:)X
-696 1300(A)N
-777(0-path)X
-1006(consists)X
-1283(solely)X
-1498(of)X
-1589(diagonal)X
-1889(edges)X
-2096(and)X
-2236(starts)X
-2429(on)X
-2533(diagonal)X
-2833(0.)X
-2937(Hence)X
-3167(it)X
-3235(must)X
-3414(end)X
-3554(on)X
-3658(diagonal)X
-3958(0.)X
-4062(Assume)X
-576 1428(inductively)N
-957(that)X
-1098(a)X
-1154(D-path)X
-1397(must)X
-1572(end)X
-1708(on)X
-1808(diagonal)X
-2104(k)X
-2164(in)X
-2246({)X
-9 f
-2316(-)X
-1 f
-2373(D)X
-2437(,)X
-9 f
-2489(-)X
-1 f
-2546(D)X
-9 f
-2617(+)X
-1 f
-2674(2)X
-2720(,)X
-2785 1408(.)N
-2825(.)X
-2865(.)X
-2930 1428(D)N
-9 f
-3001(-)X
-1 f
-3058(2)X
-3104(,)X
-3149(D)X
-3232(}.)X
-3330(Every)X
-3542(\(D+1\)-path)X
-3924(consists)X
-4197(of)X
-4284(a)X
-576 1556(pre\256x)N
-785(D-path,)X
-1050(ending)X
-1290(on)X
-1392(say)X
-1521(diagonal)X
-1819(k,)X
-1901(a)X
-1959(non-diagonal)X
-2404(edge)X
-2578(ending)X
-2818(on)X
-2920(diagonal)X
-3218(k+1)X
-3365(or)X
-3454(k)X
-9 f
-(-)S
-1 f
-3538(1,)X
-3620(and)X
-3758(a)X
-3816(snake)X
-4022(that)X
-4165(must)X
-576 1684(also)N
-739(end)X
-889(on)X
-1003(diagonal)X
-1313(k+1)X
-1472(or)X
-1573(k)X
-9 f
-(-)S
-1 f
-1657(1.)X
-1771(It)X
-1854(then)X
-2026(follows)X
-2300(that)X
-2454(every)X
-2667(\(D+1\)-path)X
-3063(must)X
-3252(end)X
-3402(on)X
-3516(a)X
-3585(diagonal)X
-3894(in)X
-3989({)X
-4060(\()X
-9 f
-4087(-)X
-1 f
-4131(D\))X
-9 f
-4216(\261)X
-1 f
-4260(1,)X
-576 1812(\()N
-9 f
-603(-)X
-1 f
-647(D+2\))X
-9 f
-817(\261)X
-1 f
-861(1,)X
-961 1792(.)N
-1001(.)X
-1041(.)X
-1101 1812(\(D)N
-9 f
-1186(-)X
-1 f
-1230(2\))X
-9 f
-1297(\261)X
-1 f
-1341(1,)X
-1421(\(D\))X
-9 f
-1533(\261)X
-1 f
-1577(1)X
-1637(})X
-1695(=)X
-1760({)X
-9 f
-1818(-)X
-1 f
-1862(D)X
-9 f
-1920(-)X
-1 f
-1964(1,)X
-9 f
-2044(-)X
-1 f
-2088(D+1,)X
-2291 1792(.)N
-2331(.)X
-2371(.)X
-2431 1812(D)N
-9 f
-2489(-)X
-1 f
-2533(1,)X
-2613(D+1)X
-2776(}.)X
-2874(Thus)X
-3054(the)X
-3172(result)X
-3370(holds)X
-3563(by)X
-3663(induction.)X
-16 s
-10 f
-4065 1892(`)N
-10 s
-1 f
-576 1993(The)N
-721(lemma)X
-959(implies)X
-1214(that)X
-1354(D-paths)X
-1628(end)X
-1764(solely)X
-1975(on)X
-2075(odd)X
-2215(diagonals)X
-2542(when)X
-2736(D)X
-2814(is)X
-2887(odd)X
-3027(and)X
-3163(even)X
-3335(diagonals)X
-3662(when)X
-3856(D)X
-3934(is)X
-4007(even.)X
-696 2149(A)N
-774(D-path)X
-1017(is)X
-2 f
-1090(furthest)X
-1354(reaching)X
-1 f
-1659(in)X
-1741(diagonal)X
-2037(k)X
-2097(if)X
-2166(and)X
-2302(only)X
-2464(if)X
-2533(it)X
-2597(is)X
-2670(one)X
-2806(of)X
-2893(the)X
-3011(D-paths)X
-3285(ending)X
-3523(on)X
-3623(diagonal)X
-3919(k)X
-3979(whose)X
-4204(end)X
-576 2277(point)N
-761(has)X
-889(the)X
-1008(greatest)X
-1279(possible)X
-1562(row)X
-1708(\(column\))X
-2023(number)X
-2289(of)X
-2377(all)X
-2478(such)X
-2646(paths.)X
-2876(Informally,)X
-3260(of)X
-3348(all)X
-3449(D-paths)X
-3724(ending)X
-3962(in)X
-4044(diagonal)X
-576 2405(k,)N
-657(it)X
-722(ends)X
-890(furthest)X
-1156(from)X
-1333(the)X
-1452(origin,)X
-1684(\(0,0\).)X
-1899(The)X
-2045(following)X
-2377(lemma)X
-2617(gives)X
-2808(an)X
-2906(inductive)X
-3226 0.2167(characterization)AX
-3762(of)X
-3851(furthest)X
-4118(reach-)X
-576 2533(ing)N
-702(D-paths)X
-980(and)X
-1120(embodies)X
-1450(a)X
-1509(greedy)X
-1751(principle:)X
-2081(furthest)X
-2349(reaching)X
-2649(D-paths)X
-2926(are)X
-3048(obtained)X
-3347(by)X
-3450(greedily)X
-3736(extending)X
-4075(furthest)X
-576 2661(reaching)N
-873(\(D)X
-9 f
-971(-)X
-1 f
-1028(1\)-paths.)X
-3 f
-576 2817(Lemma)N
-859(2:)X
-1 f
-996(A)X
-1083(furthest)X
-1357(reaching)X
-1663(0-path)X
-1897(ends)X
-2073(at)X
-2160(\(x,x\),)X
-2363(where)X
-2589(x)X
-2658(is)X
-2740(min)X
-2870(\()X
-2922(z)X
-9 f
-2964(-)X
-1 f
-3014(1)X
-9 f
-3079 -4.0000(||)AX
-1 f
-3139(a)X
-7 s
-3184 2833(z)N
-10 s
-9 f
-3221 2817(\271)N
-1 f
-3271(b)X
-7 s
-3320 2833(z)N
-10 s
-3380 2817(or)N
-3476(z>M)X
-3657(or)X
-3753(z>N\).)X
-3988(A)X
-4075(furthest)X
-996 2945(reaching)N
-1300(D-path)X
-1550(on)X
-1657(diagonal)X
-1960(k)X
-2027(can)X
-2166(without)X
-2437(loss)X
-2588(of)X
-2682(generality)X
-3030(be)X
-3133(decomposed)X
-3560(into)X
-3710(a)X
-3772(furthest)X
-4043(reaching)X
-996 3073(\(D)N
-9 f
-1094(-)X
-1 f
-1151(1\)-path)X
-1403(on)X
-1503(diagonal)X
-1799(k)X
-9 f
-1852(-)X
-1 f
-1909(1,)X
-1989(followed)X
-2294(by)X
-2394(a)X
-2450(horizontal)X
-2795(edge,)X
-2988(followed)X
-3294(by)X
-3395(the)X
-3514(longest)X
-3766(possible)X
-4049(snake)X
-4253(or)X
-996 3201(it)N
-1071(may)X
-1240(be)X
-1347(decomposed)X
-1778(into)X
-1932(a)X
-1998(furthest)X
-2273(reaching)X
-2580(\(D)X
-9 f
-2678(-)X
-1 f
-2735(1\)-path)X
-2997(on)X
-3107(diagonal)X
-3413(k+1,)X
-3588(followed)X
-3903(by)X
-4013(a)X
-4079(vertical)X
-996 3329(edge,)N
-1188(followed)X
-1493(by)X
-1593(the)X
-1711(longest)X
-1962(possible)X
-2244(snake.)X
-3 f
-576 3485(Proof:)N
-1 f
-696 3641(The)N
-848(basis)X
-1036(for)X
-1158(0-paths)X
-1422(is)X
-1503(straightforward.)X
-2066(As)X
-2183(noted)X
-2389(before,)X
-2643(a)X
-2707(D-path)X
-2958(consists)X
-3239(of)X
-3334(a)X
-3398(\(D)X
-9 f
-3496(-)X
-1 f
-3553(1\)-path,)X
-3833(a)X
-3897(non-diagonal)X
-576 3769(edge,)N
-779(and)X
-926(a)X
-993(snake.)X
-1247(If)X
-1332(the)X
-1461(D-path)X
-1715(ends)X
-1893(on)X
-2004(diagonal)X
-2311(k,)X
-2402(it)X
-2477(follows)X
-2748(that)X
-2899(the)X
-3028(\(D)X
-9 f
-3126(-)X
-1 f
-3183(1\)-path)X
-3446(must)X
-3632(end)X
-3779(on)X
-3890(diagonal)X
-4196(k)X
-9 f
-(\261)S
-1 f
-4280(1)X
-576 3897(depending)N
-935(on)X
-1040(whether)X
-1324(a)X
-1385(vertical)X
-1651(or)X
-1743(horizontal)X
-2093(edge)X
-2270(precedes)X
-2577(the)X
-2700(\256nal)X
-2867(snake.)X
-3116(The)X
-3267(\256nal)X
-3435(snake)X
-3644(must)X
-3825(be)X
-3927(maximal,)X
-4253(as)X
-576 4025(the)N
-707(D-path)X
-963(would)X
-1195(not)X
-1329(be)X
-1437(furthest)X
-1714(reaching)X
-2023(if)X
-2104(the)X
-2234(snake)X
-2449(could)X
-2659(be)X
-2767(extended.)X
-3129(Suppose)X
-3432(that)X
-3584(the)X
-3714(\(D)X
-9 f
-3812(-)X
-1 f
-3869(1\)-path)X
-4133(is)X
-4218(not)X
-576 4153(furthest)N
-843(reaching)X
-1142(in)X
-1226(its)X
-1323(diagonal.)X
-1662(But)X
-1800(then)X
-1961(a)X
-2020(further)X
-2262(reaching)X
-2562(\(D)X
-9 f
-2660(-)X
-1 f
-2717(1\)-path)X
-2972(can)X
-3107(be)X
-3206(connected)X
-3555(to)X
-3640(the)X
-3761(\256nal)X
-3926(snake)X
-4132(of)X
-4222(the)X
-576 4281(D-path)N
-819(with)X
-981(an)X
-1077(appropriate)X
-1463(non-diagonal)X
-1906(move.)X
-2144(Thus)X
-2324(the)X
-2442(D-path)X
-2685(can)X
-2817(always)X
-3060(be)X
-3156(decomposed)X
-3577(as)X
-3664(desired.)X
-16 s
-10 f
-3996 4361(`)N
-10 s
-1 f
-696 4462(Given)N
-925(the)X
-1056(endpoints)X
-1400(of)X
-1500(the)X
-1632(furthest)X
-1911(reaching)X
-2222(\(D)X
-9 f
-2320(-)X
-1 f
-2377(1\)-paths)X
-2674(in)X
-2770(diagonal)X
-3080(k+1)X
-3239(and)X
-3389(k)X
-9 f
-(-)S
-1 f
-3473(1,)X
-3567(say)X
-3708(\(x',y'\))X
-3950(and)X
-4100(\(x",y"\))X
-576 4590(respectively,)N
-1008(Lemma)X
-1277(2)X
-1341(gives)X
-1534(a)X
-1594(procedure)X
-1940(for)X
-2058(computing)X
-2424(the)X
-2546(endpoint)X
-2850(of)X
-2941(the)X
-3062(furthest)X
-3330(reaching)X
-3630(D-path)X
-3876(in)X
-3961(diagonal)X
-4260(k.)X
-576 4718(Namely,)N
-872(take)X
-1028(the)X
-1148(further)X
-1389(reaching)X
-1688(of)X
-1777(\(x',y'+1\))X
-2092(and)X
-2230(\(x"+1,y"\))X
-2557(in)X
-2641(diagonal)X
-2939(k)X
-3001(and)X
-3139(then)X
-3299(follow)X
-3530(diagonal)X
-3828(edges)X
-4033(until)X
-4201(it)X
-4267(is)X
-576 4846(no)N
-681(longer)X
-911(possible)X
-1198(to)X
-1285(do)X
-1390(so)X
-1486(or)X
-1578(until)X
-1749(the)X
-1871(boundary)X
-2198(of)X
-2289(the)X
-2411(edit)X
-2555(graph)X
-2762(is)X
-2839(reached.)X
-3154(Furthermore,)X
-3599(by)X
-3703(Lemma)X
-3972(1)X
-4036(there)X
-4221(are)X
-576 4974(only)N
-743(D+1)X
-911(diagonals)X
-1243(in)X
-1330(which)X
-1551(a)X
-1613(D-path)X
-1862(can)X
-2000(end.)X
-2182(This)X
-2350(suggests)X
-2647(computing)X
-3015(the)X
-3139(endpoints)X
-3476(of)X
-3569(D-paths)X
-3849(in)X
-3937(the)X
-4061(relevant)X
-576 5102(D+1)N
-748(diagonals)X
-1084(for)X
-1207(successively)X
-1637(increasing)X
-1996(values)X
-2230(of)X
-2326(D)X
-2413(until)X
-2587(the)X
-2713(furthest)X
-2986(reaching)X
-3291(path)X
-3457(in)X
-3547(diagonal)X
-3851(N)X
-9 f
-3922(-)X
-1 f
-3979(M)X
-4078(reaches)X
-576 5230(\(N,M\).)N
-2381 6176(-)N
-2428(5)X
-2488(-)X
-
-6 p
-%%Page: 6 6
-10 s 10 xH 0 xS 1 f
-3 f
-1184 704(For)N
-1 f
-1329(D)X
-9 f
-1407 MX
-(<-)172 1768 oc
-1 f
-1506(0)X
-3 f
-1566(to)X
-1 f
-1653(M+N)X
-3 f
-1847(Do)X
-1356 832(For)N
-1 f
-1501(k)X
-9 f
-1561 MX
-(<-)172 1768 oc
-1660(-)X
-1 f
-1704(D)X
-3 f
-1782(to)X
-1 f
-1869(D)X
-3 f
-1947(in)X
-2033(steps)X
-2222(of)X
-1 f
-2309(2)X
-3 f
-2369(Do)X
-1 f
-1529 960(Find)N
-1695(the)X
-1813(endpoint)X
-2113(of)X
-2200(the)X
-2318(furthest)X
-2583(reaching)X
-2880(D-path)X
-3123(in)X
-3205(diagonal)X
-3501(k.)X
-3 f
-1529 1088(If)N
-1 f
-1607(\(N,M\))X
-1830(is)X
-1903(the)X
-2021(endpoint)X
-3 f
-2321(Then)X
-2 f
-1702 1216(The)N
-1842(D-path)X
-2089(is)X
-2162(an)X
-2262(optimal)X
-2526(solution.)X
-3 f
-1702 1344(Stop)N
-1 f
-576 1564(The)N
-723(outline)X
-967(above)X
-1181(stops)X
-1367(when)X
-1564(the)X
-1685(smallest)X
-1970(D)X
-2051(is)X
-2127(encountered)X
-2543(for)X
-2660(which)X
-2879(there)X
-3063(is)X
-3139(a)X
-3198(furthest)X
-3466(reaching)X
-3766(D-path)X
-4012(to)X
-4097(\(N,M\).)X
-576 1692(This)N
-743(must)X
-923(happen)X
-1180(before)X
-1411(the)X
-1534(outer)X
-1724(loop)X
-1890(terminates)X
-2248(because)X
-2527(D)X
-2609(must)X
-2788(be)X
-2888(less)X
-3032(than)X
-3194(or)X
-3285(equal)X
-3483(to)X
-3569(M+N.)X
-3807(By)X
-3924(construction)X
-576 1820(this)N
-714(path)X
-875(must)X
-1054(be)X
-1154(minimal)X
-1444(with)X
-1610(respect)X
-1862(to)X
-1948(the)X
-2070(number)X
-2339(of)X
-2430(non-diagonal)X
-2877(edges)X
-3084(within)X
-3312(it.)X
-3420(Hence)X
-3650(it)X
-3718(is)X
-3795(a)X
-3855(solution)X
-4136(to)X
-4222(the)X
-576 1948(LCS/SES)N
-901(problem.)X
-696 2104(In)N
-793(presenting)X
-1157(the)X
-1285(detailed)X
-1569(algorithm)X
-1910(in)X
-2002(Figure)X
-2241(2)X
-2311(below,)X
-2557(a)X
-2623(number)X
-2898(of)X
-2995(simple)X
-3239(optimizations)X
-3705(are)X
-3835(employed.)X
-4222(An)X
-576 2232(array,)N
-795(V,)X
-906(contains)X
-1206(the)X
-1337(endpoints)X
-1681(of)X
-1781(the)X
-1912(furthest)X
-2190(reaching)X
-2500(D-paths)X
-2787(in)X
-2882(elements)X
-3200(V[)X
-9 f
-3285(-)X
-1 f
-3342(D],)X
-3480(V[)X
-9 f
-3565(-)X
-1 f
-3622(D)X
-9 f
-3693(+)X
-1 f
-3750(2],)X
-3890 2212(.)N
-3930(.)X
-3970(.)X
-4010 2232(,)N
-4063(V[D-2],)X
-576 2360(V[D].)N
-807(By)X
-921(Lemma)X
-1187(1)X
-1248(this)X
-1384(set)X
-1494(of)X
-1582(elements)X
-1888(is)X
-1962(disjoint)X
-2222(from)X
-2399(those)X
-2589(where)X
-2807(the)X
-2926(endpoints)X
-3258(of)X
-3346(the)X
-3465(\(D+1\)-paths)X
-3880(will)X
-4026(be)X
-4124(stored)X
-576 2488(in)N
-661(the)X
-781(next)X
-941(iteration)X
-1230(of)X
-1319(the)X
-1439(outer)X
-1626(loop.)X
-1830(Thus)X
-2012(the)X
-2132(array)X
-2320(V)X
-2400(can)X
-2534(simultaneously)X
-3040(hold)X
-3204(the)X
-3324(endpoints)X
-3657(of)X
-3746(the)X
-3866(D-paths)X
-4142(while)X
-576 2616(the)N
-697(\(D+1\)-path)X
-1082(endpoints)X
-1416(are)X
-1538(being)X
-1739(computed)X
-2079(from)X
-2259(them.)X
-2483(Furthermore,)X
-2928(to)X
-3014(record)X
-3244(an)X
-3344(endpoint)X
-3648(\(x,y\))X
-3826(in)X
-3912(diagonal)X
-4212(k)X
-4276(it)X
-576 2744(suf\256ces)N
-843(to)X
-927(retain)X
-1132(just)X
-1269(x)X
-1331(because)X
-1608(y)X
-1670(is)X
-1745(known)X
-1985(to)X
-2069(be)X
-2167(x)X
-9 f
-2220(-)X
-1 f
-2277(k.)X
-2379(Consequently,)X
-2861(V)X
-2941(is)X
-3015(an)X
-3112(array)X
-3299(of)X
-3387(integers)X
-3662(where)X
-3880(V[k])X
-4053(contains)X
-576 2872(the)N
-694(row)X
-839(index)X
-1037(of)X
-1124(the)X
-1242(endpoint)X
-1542(of)X
-1629(a)X
-1685(furthest)X
-1950(reaching)X
-2247(path)X
-2405(in)X
-2487(diagonal)X
-2783(k.)X
-3 f
-1184 3064(Constant)N
-1 f
-1515(MAX)X
-9 f
-1722(\316)X
-1 f
-1799([0,M+N])X
-3 f
-1184 3256(Var)N
-1 f
-1338(V:)X
-3 f
-1438(Array)X
-1 f
-1668([)X
-9 f
-1695(-)X
-1 f
-1752(MAX)X
-1959(..)X
-2019(MAX])X
-3 f
-2253(of)X
-2340(Integer)X
-1 f
-951 3473(1.)N
-1184(V[1])X
-9 f
-1356 MX
-(<-)172 1768 oc
-1 f
-1455(0)X
-951 3601(2.)N
-3 f
-1184(For)X
-1 f
-1329(D)X
-9 f
-1407 MX
-(<-)172 1768 oc
-1 f
-1506(0)X
-3 f
-1566(to)X
-1 f
-1653(MAX)X
-3 f
-1860(Do)X
-1 f
-951 3729(3.)N
-3 f
-1356(For)X
-1 f
-1501(k)X
-9 f
-1561 MX
-(<-)172 1768 oc
-1660(-)X
-1 f
-1704(D)X
-3 f
-1782(to)X
-1 f
-1869(D)X
-3 f
-1947(in)X
-2033(steps)X
-2222(of)X
-1 f
-2309(2)X
-3 f
-2369(Do)X
-1 f
-951 3857(4.)N
-3 f
-1529(If)X
-1 f
-1607(k)X
-1667(=)X
-9 f
-1732(-)X
-1 f
-1776(D)X
-3 f
-1854(or)X
-1 f
-1950(k)X
-9 f
-2010(\271)X
-1 f
-2074(D)X
-3 f
-2152(and)X
-1 f
-2300(V)X
-2364([)X
-2397(k)X
-9 f
-2450(-)X
-1 f
-2507(1)X
-2553(])X
-2600(<)X
-2665(V)X
-2729([)X
-2762(k)X
-9 f
-2815(+)X
-1 f
-2872(1)X
-2918(])X
-3 f
-2965(Then)X
-1 f
-951 3985(5.)N
-1702(x)X
-9 f
-1762 MX
-(<-)172 1768 oc
-1 f
-1861(V)X
-1925([)X
-1958(k)X
-9 f
-2011(+)X
-1 f
-2068(1)X
-2114(])X
-951 4113(6.)N
-3 f
-1529(Else)X
-1 f
-951 4241(7.)N
-1702(x)X
-9 f
-1762 MX
-(<-)172 1768 oc
-1 f
-1861(V)X
-1925([)X
-1958(k)X
-9 f
-2011(-)X
-1 f
-2068(1)X
-2114(]+1)X
-951 4369(8.)N
-1529(y)X
-9 f
-1589 MX
-(<-)172 1768 oc
-1 f
-1688(x)X
-9 f
-1741(-)X
-1 f
-1798(k)X
-951 4497(9.)N
-3 f
-1529(While)X
-1 f
-1753(x)X
-1813(<)X
-1878(N)X
-3 f
-1956(and)X
-1 f
-2104(y)X
-2164(<)X
-2229(M)X
-3 f
-2320(and)X
-1 f
-2468(a)X
-7 s
-2513 4513(x)N
-9 f
-2550(+)X
-1 f
-2590(1)X
-3 f
-10 s
-2644 4497(=)N
-1 f
-2710(b)X
-7 s
-2759 4513(y)N
-9 f
-2796(+)X
-1 f
-2836(1)X
-3 f
-10 s
-2890 4497(Do)N
-3028(\(x,y\))X
-9 f
-3202 MX
-(<-)172 1768 oc
-3 f
-3301(\(x+1,y+1\))X
-911 4625(10.)N
-1 f
-1529(V)X
-1593([)X
-1626(k)X
-1672(])X
-3 f
-9 f
-1719 MX
-(<-)172 1768 oc
-3 f
-1818(x)X
-911 4753(11.)N
-1529(If)X
-1607(x)X
-9 f
-1667(\263)X
-3 f
-1731(N)X
-1809(and)X
-1957(y)X
-9 f
-2017(\263)X
-3 f
-2081(M)X
-2177(Then)X
-911 4881(12.)N
-2 f
-1702(Length)X
-1944(of)X
-2026(an)X
-2126(SES)X
-2275(is)X
-2348(D)X
-3 f
-911 5009(13.)N
-1702(Stop)X
-911 5137(14.)N
-2 f
-1184(Length)X
-1426(of)X
-1508(an)X
-1608(SES)X
-1757(is)X
-1830(greater)X
-2086(than)X
-2248(MAX)X
-3 f
-1678 5393(FIGURE)N
-2009(2:)X
-2096(The)X
-2249(Greedy)X
-2523(LCS/SES)X
-2861(Algorithm)X
-1 f
-2381 6176(-)N
-2428(6)X
-2488(-)X
-
-7 p
-%%Page: 7 7
-10 s 10 xH 0 xS 1 f
-696 704(As)N
-809(a)X
-869(practical)X
-1170(matter)X
-1399(the)X
-1521(algorithm)X
-1856(searches)X
-2153(D-paths)X
-2431(where)X
-2652(D)X
-9 f
-2710(\243)X
-1 f
-2754(MAX)X
-2965(and)X
-3105(if)X
-3178(no)X
-3283(such)X
-3455(path)X
-3618(reaches)X
-3885(\(N,M\))X
-4113(then)X
-4276(it)X
-576 832(reports)N
-820(that)X
-961(any)X
-1098(edit)X
-1239(script)X
-1438(for)X
-1553(A)X
-1632(and)X
-1769(B)X
-1843(must)X
-2019(be)X
-2116(longer)X
-2342(than)X
-2501(MAX)X
-2709(in)X
-2792(Line)X
-2960(14.)X
-3101(By)X
-3215(setting)X
-3449(the)X
-3568(constant)X
-3856(MAX)X
-4064(to)X
-4146(M+N)X
-576 960(as)N
-669(in)X
-757(the)X
-881(outline)X
-1129(above,)X
-1367(the)X
-1491(algorithm)X
-1828(is)X
-1907(guaranteed)X
-2286(to)X
-2375(\256nd)X
-2526(the)X
-2651(length)X
-2878(of)X
-2972(the)X
-3097(LCS/SES.)X
-3469(Figure)X
-3705(3)X
-3772(illustrates)X
-4110(the)X
-4235(D-)X
-576 1088(paths)N
-766(searched)X
-1069(when)X
-1264(the)X
-1383(algorithm)X
-1715(is)X
-1789(applied)X
-2046(to)X
-2129(the)X
-2248(example)X
-2541(of)X
-2629(Figure)X
-2858(1.)X
-2958(Note)X
-3134(that)X
-3274(a)X
-3330(\256ctitious)X
-3629(endpoint,)X
-3949(\()X
-3982(0)X
-4028(,)X
-9 f
-4061(-)X
-1 f
-4118(1)X
-4164(\),)X
-4231(set)X
-576 1216(up)N
-683(in)X
-772(Line)X
-946(1)X
-1013(of)X
-1107(the)X
-1232(algorithm)X
-1570(is)X
-1650(used)X
-1825(to)X
-1915(\256nd)X
-2067(the)X
-2193(endpoint)X
-2501(of)X
-2596(the)X
-2722(furthest)X
-2995(reaching)X
-3300(0-path.)X
-3573(Also)X
-3752(note)X
-3918(that)X
-4066(D-paths)X
-576 1344(extend)N
-814(off)X
-932(the)X
-1054(left)X
-1185(and)X
-1325(lower)X
-1532(boundaries)X
-1908(of)X
-1999(the)X
-2121(edit)X
-2265(graph)X
-2471(proper)X
-2704(as)X
-2794(the)X
-2915(algorithm)X
-3249(progresses.)X
-3651(This)X
-3816(boundary)X
-4142(situa-)X
-576 1472(tion)N
-720(is)X
-793(correctly)X
-1099(handled)X
-1373(by)X
-1473(assuming)X
-1795(that)X
-1935(there)X
-2116(are)X
-2235(no)X
-2335(diagonal)X
-2631(edges)X
-2834(in)X
-2916(this)X
-3051(region.)X
-3 f
-1136 1664 MXY
-2624 
-3256 
-142.00 
-192.00 
-470.00 
-599.00 
-startFig 
-%!PS-Adobe-2.0
-%%%Title: frpaths.fig
-%%%Creator: fig2dev Version 3.1 Patchlevel 1
-%%%CreationDate: Mon Sep 22 11:05:56 1997
-%%%For: gene@bobcat.CS.Arizona.EDU (Gene Myers)
-%%%Orientation: Portrait
-%%%BoundingBox: 142 192 470 599
-%%%Pages: 1
-%%%BeginSetup
-%%%IncludeFeature: *PageSize Letter
-%%%EndSetup
-%%%EndComments
-/$F2psDict 200 dict def
-$F2psDict begin
-$F2psDict /mtrx matrix put
-/col-1 {} def
-/col0 {0.000 0.000 0.000 srgb} bind def
-/col1 {0.000 0.000 1.000 srgb} bind def
-/col2 {0.000 1.000 0.000 srgb} bind def
-/col3 {0.000 1.000 1.000 srgb} bind def
-/col4 {1.000 0.000 0.000 srgb} bind def
-/col5 {1.000 0.000 1.000 srgb} bind def
-/col6 {1.000 1.000 0.000 srgb} bind def
-/col7 {1.000 1.000 1.000 srgb} bind def
-/col8 {0.000 0.000 0.560 srgb} bind def
-/col9 {0.000 0.000 0.690 srgb} bind def
-/col10 {0.000 0.000 0.820 srgb} bind def
-/col11 {0.530 0.810 1.000 srgb} bind def
-/col12 {0.000 0.560 0.000 srgb} bind def
-/col13 {0.000 0.690 0.000 srgb} bind def
-/col14 {0.000 0.820 0.000 srgb} bind def
-/col15 {0.000 0.560 0.560 srgb} bind def
-/col16 {0.000 0.690 0.690 srgb} bind def
-/col17 {0.000 0.820 0.820 srgb} bind def
-/col18 {0.560 0.000 0.000 srgb} bind def
-/col19 {0.690 0.000 0.000 srgb} bind def
-/col20 {0.820 0.000 0.000 srgb} bind def
-/col21 {0.560 0.000 0.560 srgb} bind def
-/col22 {0.690 0.000 0.690 srgb} bind def
-/col23 {0.820 0.000 0.820 srgb} bind def
-/col24 {0.500 0.190 0.000 srgb} bind def
-/col25 {0.630 0.250 0.000 srgb} bind def
-/col26 {0.750 0.380 0.000 srgb} bind def
-/col27 {1.000 0.500 0.500 srgb} bind def
-/col28 {1.000 0.630 0.630 srgb} bind def
-/col29 {1.000 0.750 0.750 srgb} bind def
-/col30 {1.000 0.880 0.880 srgb} bind def
-/col31 {1.000 0.840 0.000 srgb} bind def
-/col32 {0.608 0.608 0.608 srgb} bind def
-
-end
-save
-140.0 606.5 translate
-1 -1 scale
-
-/clp {closepath} bind def
-/ef {eofill} bind def
-/gr {grestore} bind def
-/gs {gsave} bind def
-/l {lineto} bind def
-/m {moveto} bind def
-/n {newpath} bind def
-/s {stroke} bind def
-/slc {setlinecap} bind def
-/slj {setlinejoin} bind def
-/slw {setlinewidth} bind def
-/srgb {setrgbcolor} bind def
-/rot {rotate} bind def
-/sc {scale} bind def
-/tr {translate} bind def
-/tnt {dup dup currentrgbcolor
-  4 -2 roll dup 1 exch sub 3 -1 roll mul add
-  4 -2 roll dup 1 exch sub 3 -1 roll mul add
-  4 -2 roll dup 1 exch sub 3 -1 roll mul add srgb}
-  bind def
-/shd {dup dup currentrgbcolor 4 -2 roll mul 4 -2 roll mul
-  4 -2 roll mul srgb} bind def
- /DrawEllipse {
-       /endangle exch def
-       /startangle exch def
-       /yrad exch def
-       /xrad exch def
-       /y exch def
-       /x exch def
-       /savematrix mtrx currentmatrix def
-       x y tr xrad yrad sc 0 0 1 startangle endangle arc
-       closepath
-       savematrix setmatrix
-       } def
-
-/$F2psBegin {$F2psDict begin /$F2psEnteredState save def} def
-/$F2psEnd {$F2psEnteredState restore end} def
-%%%EndProlog
-
-$F2psBegin
-10 setmiterlimit
- 0.03000 0.03000 sc
-7.500 slw
-%% Polyline
-       [1 50.0] 50.000000 setdash
-n 903 3228 m 9003 11328 l  gs col-1 s gr       [] 0 setdash
-%% Polyline
-       [1 50.0] 50.000000 setdash
-n 903 4428 m 7803 11328 l  gs col-1 s gr       [] 0 setdash
-%% Polyline
-       [1 50.0] 50.000000 setdash
-n 903 5628 m 6903 11628 l  gs col-1 s gr       [] 0 setdash
-%% Polyline
-       [1 50.0] 50.000000 setdash
-n 903 6828 m 6303 12228 l  gs col-1 s gr       [] 0 setdash
-%% Polyline
-       [1 50.0] 50.000000 setdash
-n 903 8028 m 5703 12828 l  gs col-1 s gr       [] 0 setdash
-%% Polyline
-       [1 50.0] 50.000000 setdash
-n 5703 3228 m 10203 7728 l  gs col-1 s gr      [] 0 setdash
-%% Polyline
-       [1 50.0] 50.000000 setdash
-n 4503 3228 m 10203 8928 l  gs col-1 s gr      [] 0 setdash
-%% Polyline
-       [1 50.0] 50.000000 setdash
-n 903 9228 m 5103 13428 l  gs col-1 s gr       [] 0 setdash
-%% Polyline
-       [1 50.0] 50.000000 setdash
-n 3303 3228 m 10203 10128 l  gs col-1 s gr     [] 0 setdash
-15.000 slw
-%% Polyline
-n 903 3228 m 9303 3228 l  9303 10428 l  903 10428 l  clp  gs col-1 s gr 
-7.500 slw
-%% Polyline
-       [1 50.0] 50.000000 setdash
-n 2103 3228 m 10203 11328 l  gs col-1 s gr     [] 0 setdash
-0.000 slw
-%% Polyline
-n 6752 10352 m 7052 10352 l  7052 10502 l  6752 10502 l  clp gs col7 1.00 shd ef gr 
-%% Polyline
-n 5552 10352 m 5852 10352 l  5852 10502 l  5552 10502 l  clp gs col7 1.00 shd ef gr 
-%% Polyline
-n 9152 10352 m 9452 10352 l  9452 10502 l  9152 10502 l  clp gs col7 1.00 shd ef gr 
-%% Polyline
-n 4352 10352 m 4652 10352 l  4652 10502 l  4352 10502 l  clp gs col7 1.00 shd ef gr 
-%% Polyline
-n 9227 6677 m 9377 6677 l  9377 6977 l  9227 6977 l  clp gs col7 1.00 shd ef gr 
-%% Polyline
-n 9227 9077 m 9377 9077 l  9377 10427 l  9227 10427 l  clp gs col7 1.00 shd ef gr 
-15.000 slw
-%% Polyline
-       [100.0] 0 setdash
-n 4502 4427 m 5627 4427 l gs col7 1.00 shd ef gr  gs col-1 s gr        [] 0 setdash
-n 5339.00 4367.00 m 5627.00 4427.00 l 5339.00 4487.00 l  5387.50 4427.50 l 5339.00 4367.00 l clp gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-2 slj
-45.000 slw
-%% Polyline
-n 602 4727 m 2402 2927 l gs col7 1.00 shd ef gr  gs col32 s gr 
-0 slj
-15.000 slw
-%% Polyline
-       [100.0] 0 setdash
-n 4502 4427 m 4502 5552 l gs col7 1.00 shd ef gr  gs col-1 s gr        [] 0 setdash
-n 4562.00 5264.00 m 4502.00 5552.00 l 4442.00 5264.00 l  4502.50 5312.50 l 4562.00 5264.00 l clp gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-2 slj
-45.000 slw
-%% Polyline
-n 3902 13427 m 6902 10427 l  9302 10427 l  10202 9527 l  gs col32 s gr 
-0 slj
-15.000 slw
-%% Polyline
-       [100.0] 0 setdash
-n 3302 9227 m 4427 10352 l gs col7 1.00 shd ef gr  gs col-1 s gr       [] 0 setdash
-n 4265.78 10105.93 m 4427.00 10352.00 l 4180.93 10190.78 l  4257.79 10182.79 l 4265.78 10105.93 l clp gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-%% Polyline
-       [100.0] 0 setdash
-n 4502 8027 m 5627 9152 l gs col7 1.00 shd ef gr  gs col-1 s gr        [] 0 setdash
-n 5465.78 8905.93 m 5627.00 9152.00 l 5380.93 8990.78 l  5457.79 8982.79 l 5465.78 8905.93 l clp gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-%% Polyline
-       [100.0] 0 setdash
-n 5702 4427 m 6827 5552 l gs col7 1.00 shd ef gr  gs col-1 s gr        [] 0 setdash
-n 6665.78 5305.93 m 6827.00 5552.00 l 6580.93 5390.78 l  6657.79 5382.79 l 6665.78 5305.93 l clp gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-%% Polyline
-       [100.0] 0 setdash
-n 4577 5702 m 5627 6752 l gs col7 1.00 shd ef gr  gs col-1 s gr        [] 0 setdash
-n 5465.78 6505.93 m 5627.00 6752.00 l 5380.93 6590.78 l  5457.79 6582.79 l 5465.78 6505.93 l clp gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-%% Polyline
-       [100.0] 0 setdash
-n 5702 6827 m 6827 7952 l gs col7 1.00 shd ef gr  gs col-1 s gr        [] 0 setdash
-n 6665.78 7705.93 m 6827.00 7952.00 l 6580.93 7790.78 l  6657.79 7782.79 l 6665.78 7705.93 l clp gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 6902 8027 m 8027 8027 l gs col7 1.00 shd ef gr  gs col-1 s gr 
-n 7739.00 7967.00 m 8027.00 8027.00 l 7739.00 8087.00 l  7787.50 8027.50 l 7739.00 7967.00 l clp gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 8102 5627 m 9227 6752 l gs col7 1.00 shd ef gr  gs col-1 s gr 
-n 9065.78 6505.93 m 9227.00 6752.00 l 8980.93 6590.78 l  9057.79 6582.79 l 9065.78 6505.93 l clp gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 8102 8027 m 9227 9152 l gs col7 1.00 shd ef gr  gs col-1 s gr 
-n 9065.78 8905.93 m 9227.00 9152.00 l 8980.93 8990.78 l  9057.79 8982.79 l 9065.78 8905.93 l clp gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 5702 9227 m 5702 10352 l gs col7 1.00 shd ef gr  gs col-1 s gr 
-n 5762.00 10064.00 m 5702.00 10352.00 l 5642.00 10064.00 l  5702.50 10112.50 l 5762.00 10064.00 l clp gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 4502 10427 m 4502 11552 l gs col7 1.00 shd ef gr  gs col-1 s gr 
-n 4562.00 11264.00 m 4502.00 11552.00 l 4442.00 11264.00 l  4502.50 11312.50 l 4562.00 11264.00 l clp gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 6902 5627 m 8027 5627 l gs col7 1.00 shd ef gr  gs col-1 s gr 
-n 7739.00 5567.00 m 8027.00 5627.00 l 7739.00 5687.00 l  7787.50 5627.50 l 7739.00 5567.00 l clp gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-%% Polyline
-       [100.0] 0 setdash
-n 5702 10427 m 5702 11552 l gs col7 1.00 shd ef gr  gs col-1 s gr      [] 0 setdash
-n 5762.00 11264.00 m 5702.00 11552.00 l 5642.00 11264.00 l  5702.50 11312.50 l 5762.00 11264.00 l clp gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-%% Polyline
-       [100.0] 0 setdash
-n 6902 9227 m 6902 10352 l gs col7 1.00 shd ef gr  gs col-1 s gr       [] 0 setdash
-n 6962.00 10064.00 m 6902.00 10352.00 l 6842.00 10064.00 l  6902.50 10112.50 l 6962.00 10064.00 l clp gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 6902 8027 m 6902 9152 l gs col7 1.00 shd ef gr  gs col-1 s gr 
-n 6962.00 8864.00 m 6902.00 9152.00 l 6842.00 8864.00 l  6902.50 8912.50 l 6962.00 8864.00 l clp gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-%% Polyline
-       [100.0] 0 setdash
-n 9302 9227 m 9302 10352 l gs col7 1.00 shd ef gr  gs col-1 s gr       [] 0 setdash
-n 9362.00 10064.00 m 9302.00 10352.00 l 9242.00 10064.00 l  9302.50 10112.50 l 9362.00 10064.00 l clp gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-%% Polyline
-       [100.0] 0 setdash
-n 4502 11627 m 4502 12752 l gs col7 1.00 shd ef gr  gs col-1 s gr      [] 0 setdash
-n 4562.00 12464.00 m 4502.00 12752.00 l 4442.00 12464.00 l  4502.50 12512.50 l 4562.00 12464.00 l clp gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-2 slj
-45.000 slw
-%% Polyline
-n 3902 12227 m 6902 9227 l  9302 9227 l  9302 6827 l  9602 6527 l  gs col32 s gr 
-%% Polyline
-n 3902 11027 m 7202 7727 l  6602 5927 l  9602 2927 l  gs col32 s gr 
-%% Polyline
-n 2702 8627 m 3602 7727 l  3002 5927 l  6002 2927 l  gs col32 s gr 
-%% Polyline
-n 602 3527 m 1202 2927 l gs col7 1.00 shd ef gr  gs col32 s gr 
-0 slj
-0.000 slw
-%% Polyline
-n 828 3153 m 978 3153 l  978 5778 l  828 5778 l  clp gs col7 1.00 shd ef gr 
-%% Polyline
-n 828 3153 m 3528 3153 l  3528 3303 l  828 3303 l  clp gs col7 1.00 shd ef gr 
-15.000 slw
-%% Polyline
-n 902 2027 m 902 3152 l gs col7 1.00 shd ef gr  gs col-1 s gr 
-n 962.00 2864.00 m 902.00 3152.00 l 842.00 2864.00 l  902.50 2912.50 l 962.00 2864.00 l clp gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-%% Polyline
-       [100.0] 0 setdash
-n 902 3227 m 2027 3227 l gs col7 1.00 shd ef gr  gs col-1 s gr         [] 0 setdash
-n 1739.00 3167.00 m 2027.00 3227.00 l 1739.00 3287.00 l  1787.50 3227.50 l 1739.00 3167.00 l clp gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-%% Polyline
-       [100.0] 0 setdash
-n 902 3227 m 902 4352 l gs col7 1.00 shd ef gr  gs col-1 s gr  [] 0 setdash
-n 962.00 4064.00 m 902.00 4352.00 l 842.00 4064.00 l  902.50 4112.50 l 962.00 4064.00 l clp gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 902 4427 m 902 5552 l gs col7 1.00 shd ef gr  gs col-1 s gr 
-n 962.00 5264.00 m 902.00 5552.00 l 842.00 5264.00 l  902.50 5312.50 l 962.00 5264.00 l clp gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 902 5627 m 2027 6752 l gs col7 1.00 shd ef gr  gs col-1 s gr 
-n 1865.78 6505.93 m 2027.00 6752.00 l 1780.93 6590.78 l  1857.79 6582.79 l 1865.78 6505.93 l clp gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 2102 3227 m 2102 4352 l gs col7 1.00 shd ef gr  gs col-1 s gr 
-n 2162.00 4064.00 m 2102.00 4352.00 l 2042.00 4064.00 l  2102.50 4112.50 l 2162.00 4064.00 l clp gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 2102 4427 m 3227 5552 l gs col7 1.00 shd ef gr  gs col-1 s gr 
-n 3065.78 5305.93 m 3227.00 5552.00 l 2980.93 5390.78 l  3057.79 5382.79 l 3065.78 5305.93 l clp gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 2102 3227 m 3227 3227 l gs col7 1.00 shd ef gr  gs col-1 s gr 
-n 2939.00 3167.00 m 3227.00 3227.00 l 2939.00 3287.00 l  2987.50 3227.50 l 2939.00 3167.00 l clp gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 3302 3227 m 4427 4352 l gs col7 1.00 shd ef gr  gs col-1 s gr 
-n 4265.78 4105.93 m 4427.00 4352.00 l 4180.93 4190.78 l  4257.79 4182.79 l 4265.78 4105.93 l clp gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-%% Polyline
-n 2102 6827 m 3227 7952 l gs col7 1.00 shd ef gr  gs col-1 s gr 
-n 3065.78 7705.93 m 3227.00 7952.00 l 2980.93 7790.78 l  3057.79 7782.79 l 3065.78 7705.93 l clp gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-%% Polyline
-       [100.0] 0 setdash
-n 3302 8027 m 3302 9152 l gs col7 1.00 shd ef gr  gs col-1 s gr        [] 0 setdash
-n 3362.00 8864.00 m 3302.00 9152.00 l 3242.00 8864.00 l  3302.50 8912.50 l 3362.00 8864.00 l clp gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-%% Polyline
-       [100.0] 0 setdash
-n 3302 8027 m 4427 8027 l gs col7 1.00 shd ef gr  gs col-1 s gr        [] 0 setdash
-n 4139.00 7967.00 m 4427.00 8027.00 l 4139.00 8087.00 l  4187.50 8027.50 l 4139.00 7967.00 l clp gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
-7.500 slw
-%% Ellipse
-n 4502 8027 75 75 0 360 DrawEllipse gs col7 0.00 shd ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 4502 11627 75 75 0 360 DrawEllipse gs col7 0.00 shd ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 5702 10427 75 75 0 360 DrawEllipse gs col7 0.00 shd ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 9302 9227 75 75 0 360 DrawEllipse gs col7 0.00 shd ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 8102 8027 75 75 0 360 DrawEllipse gs col7 0.00 shd ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 8102 5627 75 75 0 360 DrawEllipse gs col7 0.00 shd ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 9302 6827 75 75 0 360 DrawEllipse gs col7 0.00 shd ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 4502 12827 75 75 0 360 DrawEllipse gs col7 0.00 shd ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 5702 11627 75 75 0 360 DrawEllipse gs col7 0.00 shd ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 6902 10427 75 75 0 360 DrawEllipse gs col7 0.00 shd ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 9302 10427 75 75 0 360 DrawEllipse gs col7 0.00 shd ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 6902 9227 75 75 0 360 DrawEllipse gs col7 0.00 shd ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 6902 5627 75 75 0 360 DrawEllipse gs col7 0.00 shd ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 5702 6827 75 75 0 360 DrawEllipse gs col7 0.00 shd ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 3302 9227 75 75 0 360 DrawEllipse gs col7 0.00 shd ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 4502 10427 75 75 0 360 DrawEllipse gs col7 0.00 shd ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 5702 9227 75 75 0 360 DrawEllipse gs col7 0.00 shd ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 3302 8027 75 75 0 360 DrawEllipse gs col7 0.00 shd ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 902 2027 75 75 0 360 DrawEllipse gs col7 0.00 shd ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 2103 6828 75 75 0 360 DrawEllipse gs col7 0.00 shd ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 5703 4428 75 75 0 360 DrawEllipse gs col7 0.00 shd ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 4503 5628 75 75 0 360 DrawEllipse gs col7 0.00 shd ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 3303 5628 75 75 0 360 DrawEllipse gs col7 0.00 shd ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 4503 4428 75 75 0 360 DrawEllipse gs col7 0.00 shd ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 2103 4428 75 75 0 360 DrawEllipse gs col7 0.00 shd ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 903 4428 75 75 0 360 DrawEllipse gs col7 0.00 shd ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 903 5628 75 75 0 360 DrawEllipse gs col7 0.00 shd ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 3303 3228 75 75 0 360 DrawEllipse gs col7 0.00 shd ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 6902 8027 75 75 0 360 DrawEllipse gs col7 0.00 shd ef gr gs col-1 s gr
-
-%% Ellipse
-n 2103 3228 75 75 0 360 DrawEllipse gs col7 0.00 shd ef gr gs col-1 s gr
-
-/Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
-3077 1727 m
-gs 1 -1 sc (Envelope of D-Path Endpoints) col-1 show gr
-%% Ellipse
-n 903 3228 75 75 0 360 DrawEllipse gs col7 0.00 shd ef gr gs col-1 s gr
-
-/Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
-1201 2851 m
-gs 1 -1 sc (D=0) col-1 show gr
-/Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
-2401 2851 m
-gs 1 -1 sc (D=1) col-1 show gr
-/Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
-6001 2851 m
-gs 1 -1 sc (D=2) col-1 show gr
-/Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
-9601 2851 m
-gs 1 -1 sc (D=3) col-1 show gr
-/Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
-10276 7876 m
-gs 1 -1 sc (4) col-1 show gr
-/Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
-10276 10276 m
-gs 1 -1 sc (2) col-1 show gr
-/Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
-10276 11476 m
-gs 1 -1 sc (1) col-1 show gr
-/Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
-9676 6676 m
-gs 1 -1 sc (D=4) col-1 show gr
-/Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
-10276 9076 m
-gs 1 -1 sc (3) col-1 show gr
-/Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
-10276 9676 m
-gs 1 -1 sc (D=5) col-1 show gr
-/Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
-8926 11701 m
-gs 1 -1 sc (0) col-1 show gr
-/Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
-7651 11701 m
-gs 1 -1 sc (-1) col-1 show gr
-/Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
-6826 11926 m
-gs 1 -1 sc (-2) col-1 show gr
-/Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
-6226 12526 m
-gs 1 -1 sc (-3) col-1 show gr
-/Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
-5626 13126 m
-gs 1 -1 sc (-4) col-1 show gr
-/Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
-5026 13726 m
-gs 1 -1 sc (-5) col-1 show gr
-/Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
-76 3226 m
-gs 1 -1 sc (\(0,0\)) col-1 show gr
-/Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
-8701 10801 m
-gs 1 -1 sc (\(7,6\)) col-1 show gr
-2 slj
-15.000 slw
-%% Polyline
-n 451 376 m 1651 376 l  gs col0 s gr 
-0 slj
-n 1363.00 316.00 m 1651.00 376.00 l 1363.00 436.00 l  1411.50 376.50 l 1363.00 316.00 l clp gs 0.00 setgray ef gr gs col0 s gr
-/Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
-1951 526 m
-gs 1 -1 sc (Even Extensions) col-1 show gr
-2 slj
-7.500 slw
-%% Polyline
-       [1 50.0] 50.000000 setdash
-n 5251 376 m 6451 376 l  gs col0 s gr  [] 0 setdash
-/Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
-6751 526 m
-gs 1 -1 sc (Diagonals) col-1 show gr
-15.000 slw
-%% Polyline
-n 5251 976 m 6451 976 l  gs col0 s gr 
-/Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
-6751 1126 m
-gs 1 -1 sc (Edit Graph Boundary) col-1 show gr
-%% Polyline
-       [100.0] 0 setdash
-n 452 977 m 1652 977 l  gs col0 s gr   [] 0 setdash
-0 slj
-n 1364.00 917.00 m 1652.00 977.00 l 1364.00 1037.00 l  1412.50 977.50 l 1364.00 917.00 l clp gs 0.00 setgray ef gr gs col0 s gr
-/Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
-1952 1127 m
-gs 1 -1 sc (Odd Extensions) col-1 show gr
-2 slj
-45.000 slw
-%% Polyline
-n 1577 1577 m 2777 1577 l  gs col32 s gr 
-showpage
-%%%Page: 1 1
-$F2psEnd
-restore
-endFig 
-1913 5176(Fig.)N
-2064(3.)X
-2144(Furthest)X
-2458(reaching)X
-2776(paths.)X
-1 f
-696 5396(The)N
-844(greedy)X
-1086(algorithm)X
-1420(takes)X
-1608(at)X
-1689(most)X
-1867(O\(\(M+N\)D\))X
-2289(time.)X
-2495(Lines)X
-2697(1)X
-2761(and)X
-2901(14)X
-3005(consume)X
-3314(O\(1\))X
-3490(time.)X
-3696(The)X
-3845(inner)X
-2 f
-4034(For)X
-1 f
-4178(loop)X
-576 5524(\(Line)N
-772(3\))X
-861(is)X
-935(repeated)X
-1229(at)X
-1308(most)X
-1484(\(D+1\)\(D+2\)/2)X
-1961(times)X
-2155(because)X
-2431(the)X
-2550(outer)X
-2 f
-2736(For)X
-1 f
-2877(loop)X
-3040(\(Line)X
-3235(3\))X
-3323(is)X
-3397(repeated)X
-3691(D+1)X
-3855(times)X
-4049(and)X
-4186(dur-)X
-576 5652(ing)N
-700(its)X
-797(k)X
-7 s
-841 5620(th)N
-10 s
-913 5652(iteration)N
-1202(the)X
-1322(inner)X
-1509(loop)X
-1673(is)X
-1748(repeated)X
-2043(at)X
-2123(most)X
-2300(k)X
-2362(times.)X
-2597(All)X
-2721(the)X
-2841(lines)X
-3014(within)X
-3240(this)X
-3378(inner)X
-3566(loop)X
-3731(take)X
-3888(constant)X
-4178(time)X
-576 5780(except)N
-814(for)X
-936(the)X
-2 f
-1062(While)X
-1 f
-1277(loop)X
-1447(\(Line)X
-1649(9\).)X
-1784(Thus)X
-1972(O\(D)X
-7 s
-2119 5748(2)N
-10 s
-2153 5780(\))N
-2208(time)X
-2378(is)X
-2459(spent)X
-2656(executing)X
-2996(Lines)X
-3201(2-8)X
-3335(and)X
-3478(10-13.)X
-3732(The)X
-2 f
-3884(While)X
-1 f
-4098(loop)X
-4267(is)X
-2381 6176(-)N
-2428(7)X
-2488(-)X
-
-8 p
-%%Page: 8 8
-10 s 10 xH 0 xS 1 f
-576 704(iterated)N
-837(once)X
-1009(for)X
-1123(each)X
-1291(diagonal)X
-1587(traversed)X
-1902(in)X
-1984(the)X
-2102(extension)X
-2429(of)X
-2516(furthest)X
-2781(reaching)X
-3078(paths.)X
-3307(But)X
-3442(at)X
-3520(most)X
-3696(O\(\(M+N\)D\))X
-4115(diago-)X
-576 832(nals)N
-729(are)X
-852(traversed)X
-1171(since)X
-1360(all)X
-1464(D-paths)X
-1742(lie)X
-1846(between)X
-2138(diagonals)X
-9 f
-2469(-)X
-1 f
-2526(D)X
-2608(and)X
-2748(D)X
-2830(and)X
-2970(there)X
-3155(are)X
-3278(at)X
-3360(most)X
-3538(\(2D+1\)min\(N,M\))X
-4125(points)X
-576 960(within)N
-808(this)X
-951(band.)X
-1175(Thus)X
-1363(the)X
-1489(algorithm)X
-1828(requires)X
-2115(a)X
-2179(total)X
-2349(of)X
-2444(O\(\(M+N\)D\))X
-2870(time.)X
-3080(Note)X
-3264(that)X
-3412(just)X
-3555(Line)X
-3731(9,)X
-3820(the)X
-3947(traversal)X
-4253(of)X
-576 1088(snakes,)N
-836(is)X
-915(the)X
-1039(limiting)X
-1317(step.)X
-1512(The)X
-1663(rest)X
-1805(of)X
-1898(the)X
-2022(algorithm)X
-2359(is)X
-2438(O\(D)X
-7 s
-2585 1056(2)N
-10 s
-2619 1088(\).)N
-2712(Furthermore)X
-3139(the)X
-3262(algorithm)X
-3598(never)X
-3802(takes)X
-3992(more)X
-4182(than)X
-576 1216(O\(\(M+N\)MAX\))N
-1123(time)X
-1285(in)X
-1367(the)X
-1485(practical)X
-1782(case)X
-1941(where)X
-2158(the)X
-2276(threshold)X
-2594(MAX)X
-2801(is)X
-2874(set)X
-2983(to)X
-3065(a)X
-3121(value)X
-3315(much)X
-3513(less)X
-3653(than)X
-3811(M+N.)X
-696 1410(The)N
-841(search)X
-1067(of)X
-1155(the)X
-1274(greedy)X
-1514(algorithm)X
-1846(traces)X
-2055(the)X
-2174(optimal)X
-2439(D-paths)X
-2714(among)X
-2953(others.)X
-3210(But)X
-3346(only)X
-3509(the)X
-3628(current)X
-3877(set)X
-3987(of)X
-4075(furthest)X
-576 1538(reaching)N
-875(endpoints)X
-1208(are)X
-1329(retained)X
-1610(in)X
-1694(V.)X
-1814(Consequently,)X
-2296(only)X
-2460(the)X
-2580(length)X
-2802(of)X
-2891(an)X
-2989(SES/LCS)X
-3316(can)X
-3450(be)X
-3548(reported)X
-3838(in)X
-3922(Line)X
-4090(12.)X
-4231(To)X
-576 1666(explicitly)N
-901(generate)X
-1197(a)X
-1256(solution)X
-1536(path,)X
-1717(O)X
-1781(\()X
-1814(D)X
-7 s
-1876 1634(2)N
-10 s
-1916 1666(\))N
-1966(space)X
-9 f
-2145 1626(*)N
-1 f
-2208 1666(is)N
-2284(used)X
-2454(to)X
-2539(store)X
-2718(a)X
-2777(copy)X
-2956(of)X
-3046(V)X
-3127(after)X
-3298(each)X
-3469(iteration)X
-3759(of)X
-3849(the)X
-3970(outer)X
-4158(loop.)X
-576 1794(Let)N
-704(V)X
-7 s
-771 1810(d)N
-10 s
-826 1794(be)N
-923(the)X
-1042(copy)X
-1219(of)X
-1307(V)X
-1386(kept)X
-1545(after)X
-1714(the)X
-1833(d)X
-7 s
-1877 1762(th)N
-10 s
-1948 1794(iteration.)N
-2276(To)X
-2386(list)X
-2503(an)X
-2599(optimal)X
-2863(path)X
-3021(from)X
-3197(\(0,0\))X
-3371(to)X
-3453(the)X
-3571(point)X
-3755(V)X
-7 s
-3822 1810(d)N
-10 s
-3862 1794([)N
-3895(k)X
-3941(])X
-3988(\256rst)X
-4132(deter-)X
-576 1922(mine)N
-761(whether)X
-1045(it)X
-1114(is)X
-1192(at)X
-1275(the)X
-1398(end)X
-1540(of)X
-1633(a)X
-1695(maximal)X
-2001(snake)X
-2210(following)X
-2547(a)X
-2609(vertical)X
-2876(edge)X
-3054(from)X
-3236(V)X
-7 s
-3303 1938(d)N
-9 f
-3340(-)X
-1 f
-3380(1)X
-10 s
-3420 1922([)N
-3453(k)X
-9 f
-3506(+)X
-1 f
-3563(1)X
-3609(])X
-3662(or)X
-3755(a)X
-3817(horizontal)X
-4168(edge)X
-576 2050(from)N
-760(V)X
-7 s
-827 2066(d)N
-9 f
-864(-)X
-1 f
-904(1)X
-10 s
-944 2050([)N
-977(k)X
-9 f
-1030(-)X
-1 f
-1087(1)X
-1133(].)X
-1228(To)X
-1345(be)X
-1449(concrete,)X
-1770(suppose)X
-2056(it)X
-2128(is)X
-2209(V)X
-7 s
-2276 2066(d)N
-9 f
-2313(-)X
-1 f
-2353(1)X
-10 s
-2393 2050([)N
-2426(k)X
-9 f
-2479(-)X
-1 f
-2536(1)X
-2582(].)X
-2677(Recursively)X
-3088(list)X
-3213(an)X
-3316(optimal)X
-3587(path)X
-3752(from)X
-3935(\(0,0\))X
-4116(to)X
-4205(this)X
-576 2178(point)N
-761(and)X
-898(then)X
-1057(list)X
-1175(the)X
-1294(vertical)X
-1556(edge)X
-1729(and)X
-1866(maximal)X
-2167(snake)X
-2371(to)X
-2454(V)X
-7 s
-2521 2194(d)N
-10 s
-2561 2178([)N
-2594(k)X
-2640(].)X
-2728(The)X
-2874(recursion)X
-3194(stops)X
-3379(when)X
-3574(d)X
-3635(=)X
-3701(0)X
-3762(in)X
-3845(which)X
-4062(case)X
-4222(the)X
-576 2306(snake)N
-787(from)X
-971(\(0,0\))X
-1153(to)X
-1243(\(V)X
-7 s
-1337 2322(0)N
-10 s
-1377 2306([)N
-1410(0)X
-1456(],V)X
-7 s
-1570 2322(0)N
-10 s
-1610 2306([)N
-1643(0)X
-1689(]\))X
-1771(is)X
-1852(listed.)X
-2093(So)X
-2205(with)X
-2375(O\(M+N\))X
-2689(additional)X
-3037(time)X
-3206(and)X
-3349(O)X
-3413(\()X
-3446(D)X
-7 s
-3508 2274(2)N
-10 s
-3548 2306(\))N
-3602(space)X
-3808(an)X
-3911(optimal)X
-4182(path)X
-576 2434(can)N
-715(be)X
-818(listed)X
-1018(by)X
-1125(replacing)X
-1451(Line)X
-1625(12)X
-1732(with)X
-1901(a)X
-1964(call)X
-2107(to)X
-2197(this)X
-2340(recursive)X
-2663(procedure)X
-3013(with)X
-3183(V)X
-7 s
-3250 2450(D)N
-10 s
-3302 2434([)N
-3335(N)X
-9 f
-3406(-)X
-1 f
-3463(M)X
-3540(])X
-3595(as)X
-3690(the)X
-3816(initial)X
-4030(point.)X
-4262(A)X
-576 2562(re\256nement)N
-939(requiring)X
-1253(only)X
-1415(O\(M+N\))X
-1721(space)X
-1920(is)X
-1993(shown)X
-2222(in)X
-2304(the)X
-2422(next)X
-2580(section.)X
-696 2756(As)N
-812(noted)X
-1017(in)X
-1106(Section)X
-1373(2,)X
-1460(the)X
-1585(LCS/SES)X
-1917(problem)X
-2211(can)X
-2350(be)X
-2453(viewed)X
-2712(as)X
-2806(an)X
-2909(instance)X
-3199(of)X
-3293(the)X
-3418(single-source)X
-3874(shortest)X
-4151(paths)X
-576 2884(problem)N
-882(on)X
-1001(a)X
-1076(weighted)X
-1409(edit)X
-1568(graph.)X
-1830(This)X
-2010(suggests)X
-2319(that)X
-2477(an)X
-2591(ef\256cient)X
-2892(algorithm)X
-3241(can)X
-3391(be)X
-3505(obtained)X
-3819(by)X
-3937(specializing)X
-576 3012(Dijkstra's)N
-914(algorithm)X
-1247([3].)X
-1403(A)X
-1483(basic)X
-1670(exercise)X
-1956([2:)X
-2067(207-208])X
-2383(shows)X
-2605(that)X
-2747(the)X
-2867(algorithm)X
-3200(takes)X
-3387(O\(ElgV\))X
-3690(time)X
-3854(where)X
-4074(E)X
-4146(is)X
-4222(the)X
-576 3140(number)N
-842(of)X
-930(edges)X
-1134(and)X
-1271(V)X
-1350(is)X
-1424(the)X
-1542(number)X
-1807(of)X
-1894(vertices)X
-2164(in)X
-2246(the)X
-2364(subject)X
-2611(graph.)X
-2854(For)X
-2985(an)X
-3081(edit)X
-3221(graph)X
-3424(E)X
-3493(<)X
-3558(3V)X
-3676(since)X
-3861(each)X
-4029(point)X
-4213(has)X
-576 3268(outdegree)N
-916(at)X
-997(most)X
-1175(three.)X
-1399(Moreover,)X
-1759(the)X
-1880(lg)X
-1948(V)X
-2029(term)X
-2199(comes)X
-2427(from)X
-2606(the)X
-2727(cost)X
-2879(of)X
-2969(managing)X
-3308(a)X
-3367(priority)X
-3630(queue.)X
-3886(In)X
-3977(the)X
-4099(case)X
-4262(at)X
-576 3396(hand)N
-756(the)X
-878(priorities)X
-1191(will)X
-1338(be)X
-1437(integers)X
-1714(in)X
-1799([0,M+N])X
-2110(as)X
-2200(edge)X
-2375(costs)X
-2558(are)X
-2680(0)X
-2743(or)X
-2833(1)X
-2896(and)X
-3035(the)X
-3156(longest)X
-3410(possible)X
-3695(path)X
-3856(to)X
-3941(any)X
-4080(point)X
-4267(is)X
-576 3524(M+N.)N
-816(Under)X
-1043(these)X
-1234(conditions,)X
-1614(the)X
-1739(priority)X
-2006(queue)X
-2225(operations)X
-2586(can)X
-2725(be)X
-2828(implemented)X
-3273(in)X
-3362(constant)X
-3656(time)X
-3825(using)X
-4025(``bucket-)X
-576 3652(ing'')N
-768(and)X
-920(linked-list)X
-1280(techniques.)X
-1699(Thus)X
-1895(Dijkstra's)X
-2246(algorithm)X
-2592(can)X
-2739(be)X
-2850(specialized)X
-3242(to)X
-3339(perform)X
-3633(in)X
-3730(time)X
-3907(linear)X
-4125(in)X
-4222(the)X
-576 3780(number)N
-846(of)X
-938(vertices)X
-1213(in)X
-1300(the)X
-1423(edit)X
-1568(graph,)X
-1797(i.e.)X
-1921(O\(MN\).)X
-2228(The)X
-2379(\256nal)X
-2547(re\256nement)X
-2916(stems)X
-3124(from)X
-3306(noting)X
-3536(that)X
-3682(all)X
-3788(that)X
-3934(is)X
-4013(needed)X
-4267(is)X
-576 3908(the)N
-699(shortest)X
-973(path)X
-1136(from)X
-1317(the)X
-1440(source)X
-1675(\(0,0\))X
-1854(to)X
-1941(the)X
-2064(point)X
-2252(\(M,N\).)X
-2519(Dijkstra's)X
-2859(algorithm)X
-3194(determines)X
-3570(the)X
-3692(minimum)X
-4026(distances)X
-576 4036(of)N
-664(vertices)X
-935(from)X
-1112(the)X
-1231(source)X
-1462(in)X
-1545(increasing)X
-1896(order,)X
-2107(one)X
-2244(vertex)X
-2466(per)X
-2590(iteration.)X
-2918(By)X
-3032(Lemma)X
-3299(1)X
-3361(there)X
-3544(are)X
-3665(at)X
-3745(most)X
-3922(O\(\(M+N\)D\))X
-576 4164(points)N
-802(less)X
-953(distant)X
-1197(from)X
-1383(\(0,0\))X
-1567(than)X
-1735(\(M,N\))X
-1968(and)X
-2114(the)X
-2242(previous)X
-2548(re\256nements)X
-2952(reduce)X
-3197(the)X
-3325(cost)X
-3484(of)X
-3581(each)X
-3759(iteration)X
-4056(to)X
-4148(O\(1\).)X
-576 4292(Thus)N
-779(the)X
-920(algorithm)X
-1274(can)X
-1429(stop)X
-1605(as)X
-1715(soon)X
-1909(as)X
-2019(the)X
-2160(minimum)X
-2513(distance)X
-2819(to)X
-2924(\(M,N\))X
-3170(is)X
-3266(ascertained)X
-3671(and)X
-3830(it)X
-3917(only)X
-4102(spends)X
-576 4420(O\(\(M+N\)D\))N
-994(time)X
-1156(in)X
-1238(so)X
-1329(doing.)X
-696 4614(It)N
-778(has)X
-918(been)X
-1103(shown)X
-1345(that)X
-1498(a)X
-1567(specialization)X
-2041(of)X
-2141(Dijkstra's)X
-2490(algorithm)X
-2835(also)X
-2998(gives)X
-3201(an)X
-3311(O\(ND\))X
-3573(time)X
-3749(algorithm)X
-4094(for)X
-4222(the)X
-576 4742(LCS/SES)N
-905(problem.)X
-1236(However,)X
-1575(the)X
-1697(resulting)X
-2001(algorithm)X
-2336(involves)X
-2631(a)X
-2690(relatively)X
-3016(complex)X
-3315(discrete)X
-3588(priority)X
-3851(queue)X
-4066(and)X
-4205(this)X
-576 4870(queue)N
-791(may)X
-952(contain)X
-1211(as)X
-1301(many)X
-1502(as)X
-1592(O\(ND\))X
-1843(entries)X
-2081(even)X
-2257(in)X
-2343(the)X
-2465(case)X
-2628(where)X
-2849(just)X
-2988(the)X
-3110(length)X
-3334(of)X
-3425(the)X
-3547(LCS/SES)X
-3876(is)X
-3953(being)X
-4155(com-)X
-576 4998(puted.)N
-824(While)X
-1050(one)X
-1195(could)X
-1402(argue)X
-1610(that)X
-1759(further)X
-2007(re\256nement)X
-2379(leads)X
-2573(to)X
-2664(the)X
-2791(simple)X
-3033(algorithm)X
-3373(of)X
-3469(this)X
-3613(paper,)X
-3841(the)X
-3968(connection)X
-576 5126(becomes)N
-878(so)X
-970(tenuous)X
-1240(that)X
-1381(the)X
-1500(direct)X
-1705(and)X
-1843(easily)X
-2052(motivated)X
-2394(derivation)X
-2741(used)X
-2910(in)X
-2994(this)X
-3131(section)X
-3380(is)X
-3455(preferable.)X
-3844(The)X
-3991(aim)X
-4133(of)X
-4222(the)X
-576 5254(discussion)N
-941(is)X
-1026(to)X
-1120(expose)X
-1375(the)X
-1505(close)X
-1701(relationship)X
-2110(between)X
-2409(the)X
-2538(shortest)X
-2818(paths)X
-3018(and)X
-3165(LCS/SES)X
-3501(problems)X
-3830(and)X
-3977(their)X
-4155(algo-)X
-576 5382(rithms.)N
-8 s
-10 f
-576 5472(hhhhhhhhhhhhhhhhhh)N
-9 f
-576 5552(*)N
-1 f
-625(If)X
-684(only)X
-815(O\(D)X
-6 s
-928 5520(2)N
-8 s
-5552(\))Y
-990(space)X
-1148(is)X
-1208(to)X
-1275(be)X
-2 f
-1352(allocated)X
-1 f
-1590(,)X
-1623(the)X
-1718(algorithm)X
-1984(is)X
-2044(\256rst)X
-2161(run)X
-2263(to)X
-2330(determine)X
-2602(D)X
-2665(in)X
-2732(O\(N\))X
-2883(space,)X
-3057(then)X
-3184(the)X
-3279(space)X
-3438(is)X
-3499(allocated,)X
-3763(and)X
-3873(\256nal-)X
-576 5632(ly,)N
-658(the)X
-752(algorithm)X
-1017(is)X
-1076(run)X
-1177(again)X
-1331(to)X
-1397(determine)X
-1668(a)X
-1712(solution)X
-1935(path.)X
-10 s
-2381 6176(-)N
-2428(8)X
-2488(-)X
-
-9 p
-%%Page: 9 9
-10 s 10 xH 0 xS 1 f
-3 f
-576 704(4.)N
-656(Re\256nements)X
-1 f
-696 860(The)N
-849(basic)X
-1042(algorithm)X
-1381(can)X
-1521(be)X
-1625(embellished)X
-2040(in)X
-2130(a)X
-2194(number)X
-2467(of)X
-2562(ways.)X
-2796(First,)X
-2991(the)X
-3118(algorithm's)X
-3516(expected)X
-3831(performance)X
-4267(is)X
-576 988(O)N
-640(\()X
-673(M)X
-9 f
-757(+)X
-1 f
-814(N)X
-9 f
-885(+)X
-1 f
-942(D)X
-7 s
-1004 956(2)N
-10 s
-1044 988(\),)N
-1113(which)X
-1331(is)X
-1405(much)X
-1604(superior)X
-1888(to)X
-1971(the)X
-2090(worst)X
-2289(case)X
-2449(prediction)X
-2795(of)X
-2883(O\(\(M+N\)D\).)X
-3342(While)X
-3559(not)X
-3682(shown)X
-3912(here,)X
-4092(experi-)X
-576 1116(ments)N
-794(reveal)X
-1018(that)X
-1165(the)X
-1290(variance)X
-1590(about)X
-1795(the)X
-1920(mean)X
-2121(is)X
-2201(small)X
-2401(especially)X
-2749(as)X
-2843(the)X
-2968(alphabet)X
-3267(size)X
-3419(becomes)X
-3727(large.)X
-3955(Thus)X
-4142(while)X
-576 1244(there)N
-767(are)X
-895(pathological)X
-1320(cases)X
-1519(that)X
-1668(require)X
-1925(O\(\(M+N\)D\))X
-2352(time)X
-2523(they)X
-2690(are)X
-2818(extremely)X
-3168(rare)X
-3323(\(e.g.)X
-3495(like)X
-3644(O)X
-3708(\()X
-3741(N)X
-7 s
-3803 1212(2)N
-10 s
-3843 1244(\))N
-3899(problems)X
-4226(for)X
-576 1372(quicksort\).)N
-967(Second,)X
-1249(the)X
-1373(algorithm)X
-1710(can)X
-1848(be)X
-1951(re\256ned)X
-2201(to)X
-2290(use)X
-2424(only)X
-2593(linear)X
-2803(space)X
-3009(when)X
-3210(reporting)X
-3531(an)X
-3634(edit)X
-3781(script.)X
-4026(The)X
-4178(only)X
-576 1500(other)N
-769(algorithm)X
-1108(that)X
-1256(has)X
-1391(been)X
-1571(shown)X
-1808(to)X
-1898(admit)X
-2108(such)X
-2283(a)X
-2347(re\256nement)X
-2718(is)X
-2799(the)X
-2925(basic)X
-3118(O\(MN\))X
-3387(dynamic)X
-3691(programming)X
-4155(algo-)X
-576 1628(rithm)N
-776([7].)X
-937(A)X
-1022(linear)X
-1232(space)X
-1438(algorithm)X
-1776(is)X
-1856(of)X
-1950(practical)X
-2254(import)X
-2494(since)X
-2686(many)X
-2891(large)X
-3079(problems)X
-3404(can)X
-3543(reasonably)X
-3918(be)X
-4021(solved)X
-4258(in)X
-576 1756(O)N
-640(\()X
-673(D)X
-7 s
-735 1724(2)N
-10 s
-775 1756(\))N
-843(time)X
-1026(but)X
-1169(not)X
-1312(in)X
-1415(O)X
-1479(\()X
-1512(D)X
-7 s
-1574 1724(2)N
-10 s
-1614 1756(\))N
-1682(space.)X
-1942(Finally,)X
-2229(an)X
-2346(O)X
-2410(\()X
-2462(\()X
-2495(M)X
-9 f
-2579(+)X
-1 f
-2636(N)X
-2700(\))X
-2740(lg)X
-2808(\()X
-2841(M)X
-9 f
-2925(+)X
-1 f
-2982(N)X
-3046(\))X
-9 f
-3112(+)X
-1 f
-3188(D)X
-7 s
-3250 1724(2)N
-10 s
-3309 1756(\))N
-3376(worst-case)X
-3760(time)X
-3942(variation)X
-4267(is)X
-576 1884(obtained)N
-873(by)X
-974(speeding)X
-1280(up)X
-1381(the)X
-1501(traversal)X
-1800(of)X
-1889(snakes)X
-2125(with)X
-2289(some)X
-2480(previously)X
-2840(developed)X
-3192(techniques)X
-3557([6,14].)X
-3813(The)X
-3960(variation)X
-4267(is)X
-576 2012(impractical)N
-960(due)X
-1099(to)X
-1184(the)X
-1305(sophistication)X
-1772(of)X
-1862(these)X
-2050(underlying)X
-2420(methods)X
-2714(but)X
-2839(its)X
-2936(superior)X
-3221(asymptotic)X
-3594(worst-case)X
-3960(complexity)X
-576 2140(is)N
-649(of)X
-736(theoretical)X
-1095(interest.)X
-3 f
-576 2396(4a.)N
-696(A)X
-774(Probabilistic)X
-1229(Analysis)X
-1 f
-696 2552(Consider)N
-1010(the)X
-1133(following)X
-1469(stochastic)X
-1810(model)X
-2035(for)X
-2154(the)X
-2277(sequences)X
-2628(A)X
-2712(and)X
-2854(B)X
-2933(in)X
-3021(a)X
-3083(shortest)X
-3358(edit)X
-3504(script)X
-3708(problem.)X
-4041(A)X
-4125(and)X
-4267(B)X
-576 2680(are)N
-696(sequences)X
-1043(over)X
-1207(an)X
-1304(alphabet)X
-9 f
-1597(S)X
-1 f
-1665(where)X
-1883(each)X
-2052(symbol)X
-2308(occurs)X
-2539(with)X
-2701(probability)X
-3072(p)X
-7 s
-9 f
-3121 2696(s)N
-10 s
-1 f
-3181 2680(for)N
-9 f
-3295(s)X
-3363(\316)X
-3440(S)X
-1 f
-3487(.)X
-3547(The)X
-3692(N)X
-3770(symbols)X
-4056(of)X
-4143(A)X
-4221(are)X
-576 2808(randomly)N
-906(and)X
-1045(independently)X
-1522(chosen)X
-1768(according)X
-2108(to)X
-2193(the)X
-2314(probability)X
-2688(densities,)X
-3012(p)X
-7 s
-9 f
-3061 2824(s)N
-10 s
-1 f
-3101 2808(.)N
-3165(The)X
-3314(M)X
-3409(=)X
-3478(N)X
-9 f
-3549(-)X
-3606(d)X
-3659(+)X
-3716(i)X
-1 f
-3766(symbol)X
-4025(sequence)X
-576 2936(B)N
-659(is)X
-742(obtained)X
-1048(by)X
-1158(randomly)X
-1495(deleting)X
-9 f
-1783(d)X
-1 f
-1853(symbols)X
-2149(from)X
-2335(A)X
-2423(and)X
-2569(randomly)X
-2906(inserting)X
-9 f
-3216(i)X
-1 f
-3272(randomly)X
-3608(chosen)X
-3860(symbols.)X
-4195(The)X
-576 3064(deletion)N
-858(and)X
-998(insertion)X
-1302(positions)X
-1614(are)X
-1737(chosen)X
-1984(with)X
-2150(uniform)X
-2432(probability.)X
-2847(An)X
-2969(equivalent)X
-3327(model)X
-3551(is)X
-3629(to)X
-3716(generate)X
-4014(a)X
-4075(random)X
-576 3192(sequence)N
-894(of)X
-984(length)X
-1207(L)X
-1279(=)X
-1347(N)X
-9 f
-1418(-)X
-1475(d)X
-1 f
-1537(and)X
-1675(then)X
-1835(randomly)X
-2164(insert)X
-9 f
-2364(d)X
-1 f
-2426(and)X
-9 f
-2564(i)X
-1 f
-2612(randomly)X
-2941(generated)X
-3276(symbols)X
-3564(to)X
-3648(this)X
-3785(sequence)X
-4102(to)X
-4186(pro-)X
-576 3320(duce)N
-748(A)X
-826(and)X
-962(B,)X
-1055(respectively.)X
-1503(Note)X
-1679(that)X
-1819(the)X
-1937(LCS)X
-2103(of)X
-2190(A)X
-2268(and)X
-2404(B)X
-2477(must)X
-2652(consist)X
-2894(of)X
-2981(at)X
-3059(least)X
-3226(L)X
-3295(symbols)X
-3581(but)X
-3703(may)X
-3861(be)X
-3957(longer.)X
-696 3476(An)N
-817(alternate)X
-1117(model)X
-1340(is)X
-1416(to)X
-1501(consider)X
-1796(A)X
-1877(and)X
-2016(B)X
-2093(as)X
-2184(randomly)X
-2515(generated)X
-2852(sequences)X
-3202(of)X
-3293(length)X
-3517(N)X
-3599(and)X
-3739(M)X
-3834(which)X
-4054(are)X
-4177(con-)X
-576 3604(strained)N
-851(to)X
-934(have)X
-1107(an)X
-1204(LCS)X
-1371(of)X
-1459(length)X
-1680(L.)X
-1790(This)X
-1953(model)X
-2174(is)X
-2248(not)X
-2371(equivalent)X
-2726(to)X
-2809(the)X
-2928(one)X
-3065(above)X
-3278(except)X
-3509(in)X
-3592(the)X
-3711(limit)X
-3882(when)X
-4077(the)X
-4195(size)X
-576 3732(of)N
-9 f
-663(S)X
-1 f
-730(becomes)X
-1031(arbitrarily)X
-1372(large)X
-1553(and)X
-1689(every)X
-1888(probability)X
-2259(p)X
-7 s
-9 f
-2308 3748(s)N
-10 s
-1 f
-2368 3732(goes)N
-2535(to)X
-2617(zero.)X
-2816(Nonetheless,)X
-3248(the)X
-3367(ensuing)X
-3637(treatment)X
-3961(can)X
-4094(also)X
-4244(be)X
-576 3860(applied)N
-839(to)X
-928(this)X
-1070(model)X
-1297(with)X
-1466(the)X
-1591(same)X
-1783(asymptotic)X
-2161(results.)X
-2437(The)X
-2589(\256rst)X
-2740(model)X
-2967(is)X
-3047(chosen)X
-3297(as)X
-3391(it)X
-3462(re\257ects)X
-3721(the)X
-3845(edit)X
-3991(scripts)X
-4226(for)X
-576 3988(mapping)N
-883(A)X
-968(into)X
-1119(B)X
-1199(that)X
-1346(are)X
-1472(assumed)X
-1775(by)X
-1882(the)X
-2007(SES)X
-2171(problem.)X
-2505(While)X
-2728(other)X
-2920(edit)X
-3067(script)X
-3272(commands)X
-3646(such)X
-3820(as)X
-3915 0.2404(``transfers'',)AX
-576 4116(``moves'',)N
-936(and)X
-1075 0.2812(``exchanges'')AX
-1541(are)X
-1663(more)X
-1851(re\257ective)X
-2173(of)X
-2263(actual)X
-2478(editing)X
-2723(sessions,)X
-3028(their)X
-3198(inclusion)X
-3513(results)X
-3744(in)X
-3828(distinct)X
-4085(optimi-)X
-576 4244(zation)N
-794(problems)X
-1114(from)X
-1292(the)X
-1412(SES)X
-1571(problem)X
-1860(discussed)X
-2189(here.)X
-2390(Hence)X
-2618(stochastic)X
-2956(models)X
-3210(based)X
-3416(on)X
-3519(such)X
-3689(edit)X
-3832(process)X
-4096(are)X
-4218(not)X
-576 4372(considered.)N
-696 4528(In)N
-785(the)X
-905(edit)X
-1047(graph)X
-1252(of)X
-1341(A)X
-1421(and)X
-1559(B)X
-1634(there)X
-1817(are)X
-1938(L)X
-2009(diagonal)X
-2307(edges)X
-2512(corresponding)X
-2993(to)X
-3077(the)X
-3198(randomly)X
-3528(generated)X
-3864(LCS)X
-4033(of)X
-4123(A)X
-4204(and)X
-576 4656(B.)N
-697(Any)X
-863(other)X
-1056(diagonal)X
-1360(edge,)X
-1560(ending)X
-1806(at)X
-1892(say)X
-2027(\(x,y\),)X
-2229(occurs)X
-2467(with)X
-2637(the)X
-2763(same)X
-2955(probability)X
-3333(that)X
-3480(a)X
-7 s
-3525 4672(x)N
-10 s
-3586 4656(=)N
-3658(b)X
-7 s
-3707 4672(y)N
-10 s
-3768 4656(as)N
-3862(these)X
-4054(symbols)X
-576 4784(were)N
-755(obtained)X
-1053(by)X
-1155(independent)X
-1569(random)X
-1836(trials.)X
-2058(Thus)X
-2240(the)X
-2360(probability)X
-2733(of)X
-2822(an)X
-2 f
-2921(off-LCS)X
-3192(diagonal)X
-1 f
-3499(is)X
-9 f
-3575(r)X
-3658(=)X
-7 s
-3748 4864 4.0938(s\316S)AN
-15 s
-3770 4808(S)N
-10 s
-1 f
-3888 4784(p)N
-7 s
-9 f
-3932 4799(s)N
-1 f
-3932 4752(2)N
-10 s
-3972 4784(.)N
-4035(The)X
-4183(SES)X
-576 4976(algorithm)N
-908(searches)X
-1202(by)X
-1303(extending)X
-1640(furthest)X
-1906(reaching)X
-2204(paths)X
-2394(until)X
-2561(the)X
-2680(point)X
-2865(\(N,M\))X
-3088(is)X
-3161(reached.)X
-3472(Each)X
-3653(extension)X
-3980(consists)X
-4253(of)X
-576 5104(a)N
-639(horizontal)X
-991(or)X
-1085(vertical)X
-1353(edge)X
-1532(followed)X
-1844(by)X
-1951(the)X
-2076(longest)X
-2334(possible)X
-2623(snake.)X
-2873(The)X
-3025(maximal)X
-3332(snakes)X
-3573(consist)X
-3822(of)X
-3916(a)X
-3980(number)X
-4253(of)X
-576 5232(LCS)N
-744(and)X
-882(off-LCS)X
-1171(diagonals.)X
-1539(The)X
-1685(probability)X
-2057(that)X
-2198(there)X
-2380(are)X
-2500(exactly)X
-2753(t)X
-2796(off-LCS)X
-3084(diagonals)X
-3412(in)X
-3495(a)X
-3552(given)X
-3751(extension's)X
-4137(snake)X
-576 5400(is)N
-9 f
-650(r)X
-7 s
-1 f
-698 5368(t)N
-10 s
-726 5400(\()N
-759(1)X
-9 f
-812(-)X
-869(r)X
-1 f
-919(\).)X
-1007(Thus)X
-1188(the)X
-1307(expected)X
-1614(number)X
-1880(of)X
-1968(off-LCS)X
-2256(diagonals)X
-2584(in)X
-2667(an)X
-2764(extension)X
-3093(is)X
-7 s
-3170 5480(t)N
-9 f
-3195(=)X
-1 f
-3235(0)X
-15 s
-9 f
-3181 5424(S)N
-7 s
-3197 5320(\245)N
-10 s
-1 f
-3290 5400(t)N
-9 f
-3318(r)X
-7 s
-1 f
-3366 5368(t)N
-10 s
-3394 5400(\()N
-3427(1)X
-9 f
-3480(-)X
-3537(r)X
-1 f
-3587(\))X
-3636(=)X
-9 f
-3703(r)X
-1 f
-3753(/)X
-3781(\()X
-3814(1)X
-9 f
-3867(-)X
-3924(r)X
-1 f
-3974(\).)X
-4063(At)X
-4165(most)X
-576 5592(d+1)N
-739(extensions)X
-1115(are)X
-1252(made)X
-1464(in)X
-1564(the)X
-1700(d)X
-7 s
-1744 5560(th)N
-10 s
-1832 5592(iteration)N
-2137(of)X
-2241(the)X
-2376(outer)X
-2 f
-2578(For)X
-1 f
-2735(loop)X
-2914(of)X
-3018(the)X
-3153(SES)X
-3327(algorithm.)X
-3715(Therefore)X
-4070(at)X
-4165(most)X
-576 5720(\()N
-609(D)X
-9 f
-680(+)X
-1 f
-737(1)X
-783(\))X
-816(\()X
-849(D)X
-9 f
-920(+)X
-1 f
-977(2)X
-1023(\))X
-9 f
-1063(r)X
-1 f
-1113(/)X
-1141(2)X
-1187(\()X
-1220(1)X
-9 f
-1273(-)X
-1330(r)X
-1 f
-1380(\))X
-1433(off-LCS)X
-1726(diagonals)X
-2059(are)X
-2184(traversed)X
-2505(in)X
-2593(the)X
-2717(expected)X
-3029(case.)X
-3235(Moreover,)X
-3599(at)X
-3684(most)X
-3866(L)X
-3942(LCS)X
-4115(diago-)X
-576 5848(nals)N
-730(are)X
-854(ever)X
-1018(traversed.)X
-1378(Consequently,)X
-1863(the)X
-1986(critical)X
-2 f
-2234(While)X
-1 f
-2446(loop)X
-2613(of)X
-2705(the)X
-2828(algorithm)X
-3164(is)X
-3242(executed)X
-3552(an)X
-3652(average)X
-3927(of)X
-4018(O\(L+D)X
-7 s
-4259 5816(2)N
-10 s
-4293 5848(\))N
-2381 6176(-)N
-2428(9)X
-2488(-)X
-
-10 p
-%%Page: 10 10
-10 s 10 xH 0 xS 1 f
-576 704(times)N
-772(when)X
-9 f
-969(r)X
-1 f
-1036(is)X
-1112(bounded)X
-1411(away)X
-1604(from)X
-1783(1.)X
-1887(The)X
-2036(remainder)X
-2386(of)X
-2477(the)X
-2599(algorithm)X
-2934(has)X
-3065(already)X
-3326(been)X
-3502(observed)X
-3816(to)X
-3902(take)X
-4060(at)X
-4142(worst)X
-576 832(O)N
-640(\()X
-673(D)X
-7 s
-735 800(2)N
-10 s
-775 832(\))N
-827(time.)X
-1034(When)X
-9 f
-1251(r)X
-1 f
-1320(=)X
-1390(1,)X
-1475(there)X
-1661(is)X
-1739(only)X
-1906(one)X
-2047(letter)X
-2237(of)X
-2329(nonzero)X
-2612(probability)X
-2987(in)X
-3073(the)X
-3195(alphabet)X
-9 f
-3491(S)X
-1 f
-3538(,)X
-3582(so)X
-3677(A)X
-3759(and)X
-3899(B)X
-3976(consists)X
-4253(of)X
-576 960(repetitions)N
-934(of)X
-1021(that)X
-1161(letter,)X
-1366(with)X
-1528(probability)X
-1899(one.)X
-2075(In)X
-2162(this)X
-2297(case,)X
-2476(the)X
-2594(algorithm)X
-2925(runs)X
-3083(in)X
-3165(O\(M+N\))X
-3472(time.)X
-3675(Thus)X
-3856(the)X
-3975(SES)X
-4133(Algo-)X
-576 1088(rithm)N
-769(takes)X
-954(O)X
-1018(\()X
-1051(M)X
-9 f
-1135(+)X
-1 f
-1192(N)X
-9 f
-1263(+)X
-1 f
-1320(D)X
-7 s
-1382 1056(2)N
-10 s
-1422 1088(\))N
-1469(time)X
-1631(in)X
-1713(the)X
-1831(expected)X
-2137(case.)X
-3 f
-576 1344(4b.)N
-700(A)X
-778(Linear)X
-1029(Space)X
-1249(Re\256nement)X
-1 f
-696 1500(The)N
-844(LCS/SES)X
-1172(problem)X
-1462(is)X
-1538(symmetric)X
-1900(with)X
-2066(respect)X
-2318(to)X
-2404(the)X
-2526(orientation)X
-2897(of)X
-2988(edit)X
-3132(graph)X
-3339(edges.)X
-3586(Consider)X
-3899(reversing)X
-4222(the)X
-576 1628(direction)N
-883(of)X
-972(every)X
-1173(edge)X
-1347(in)X
-1431(the)X
-1551(edit)X
-1693(graph)X
-1898(for)X
-2014(sequences)X
-2362(A)X
-2442(and)X
-2580(B.)X
-2695(Subsequences)X
-3167(and)X
-3305(edit)X
-3446(scripts)X
-3676(for)X
-3791(A)X
-3870(and)X
-4007(B)X
-4081(are)X
-4201(still)X
-576 1756(modeled)N
-872(as)X
-959(paths)X
-1148(in)X
-1230(this)X
-1365(reverse)X
-1618(edit)X
-1758(graph)X
-1961(but)X
-2083(now)X
-2241(the)X
-2359(paths)X
-2548(start)X
-2706(at)X
-2785(\(N,M\))X
-3009(and)X
-3146(end)X
-3283(at)X
-3362(\(0,0\).)X
-3577(Also,)X
-3769(the)X
-3888(interpretation)X
-576 1884(of)N
-664(paths)X
-854(alters)X
-1049(just)X
-1185(slightly)X
-1445(to)X
-1528(re\257ect)X
-1750(the)X
-1869(reversal)X
-2145(of)X
-2233(direction.)X
-2579(Each)X
-2760(diagonal)X
-3056(edge)X
-2 f
-3228(beginning)X
-1 f
-3568(at)X
-3646(\(x,y\))X
-3820(gives)X
-4009(a)X
-4065(symbol,)X
-576 2012(a)N
-7 s
-621 2028(x)N
-10 s
-681 2012(\(=)N
-779(b)X
-7 s
-828 2028(y)N
-10 s
-862 2012(\),)N
-935(in)X
-1023(the)X
-1147(common)X
-1453(subsequence;)X
-1907(each)X
-2081(horizontal)X
-2432(edge)X
-2 f
-2610(from)X
-1 f
-2787(point)X
-2977(\(x,y\))X
-3157(corresponds)X
-3571(to)X
-3660(the)X
-3785(delete)X
-4004(command)X
-576 2140(``x)N
-695(D'';)X
-862(etc.)X
-1029(So)X
-1146(the)X
-1277(LCS/SES)X
-1614(problem)X
-1913(can)X
-2057(be)X
-2165(solved)X
-2406(by)X
-2518(starting)X
-2790(at)X
-2880(\(N,M\))X
-3115(and)X
-3263(progressively)X
-3727(extending)X
-4075(furthest)X
-576 2268(reaching)N
-878(paths)X
-1072(in)X
-1159(the)X
-1282(reverse)X
-1540(edit)X
-1685(graph)X
-1893(until)X
-2065(one)X
-2207(reaches)X
-2475(\(0,0\).)X
-2695 0.3472(Hereafter,)AX
-3046(forward)X
-3327(paths)X
-3522(will)X
-3672(refer)X
-3851(to)X
-3939(those)X
-4134(in)X
-4222(the)X
-576 2396(edit)N
-721(graph)X
-929(and)X
-1070(reverse)X
-1328(paths)X
-1522(will)X
-1671(refer)X
-1849(to)X
-1936(those)X
-2130(in)X
-2217(the)X
-2340(reverse)X
-2598(edit)X
-2743(graph.)X
-2991(Since)X
-3194(paths)X
-3388(in)X
-3475(opposing)X
-3793(directions)X
-4134(are)X
-4258(in)X
-576 2524(exact)N
-766 0.2232(correspondence,)AX
-1311(the)X
-1429(direction)X
-1734(of)X
-1821(a)X
-1877(path)X
-2035(is)X
-2108(distinguished)X
-2554(only)X
-2716(when)X
-2910(it)X
-2974(is)X
-3047(of)X
-3134(operational)X
-3515(importance.)X
-696 2680(As)N
-813(in)X
-903(the)X
-1029(linear)X
-1240(space)X
-1447(algorithm)X
-1786(of)X
-1881(Hirschberg)X
-2266([7],)X
-2408(a)X
-2472(divide-and-conquer)X
-3129(strategy)X
-3411(is)X
-3492(employed.)X
-3876(A)X
-3962(D-path)X
-4213(has)X
-576 2808(D+1)N
-748(snakes)X
-991(some)X
-1189(of)X
-1285(which)X
-1510(may)X
-1677(be)X
-1782(empty.)X
-2051(The)X
-2205(divide)X
-2434(step)X
-2592(requires)X
-2880(\256nding)X
-3135(the)X
-10 f
-3262 2800(R)N
-1 f
-3288 2808(D)N
-3352(/)X
-3380(2)X
-10 f
-3426 2800(H)N
-9 f
-3467 2808(+)N
-1 f
-3524(1)X
-3593(or)X
-3688(middle)X
-3938(snake)X
-4149(of)X
-4244(an)X
-576 2936(optimal)N
-843(D-path.)X
-1129(The)X
-1277(idea)X
-1434(for)X
-1551(doing)X
-1756(so)X
-1850(is)X
-1926(to)X
-2011(simultaneously)X
-2518(run)X
-2648(the)X
-2770(basic)X
-2959(algorithm)X
-3294(in)X
-3380(both)X
-3546(the)X
-3668(forward)X
-3947(and)X
-4087(reverse)X
-576 3064(directions)N
-916(until)X
-1086(furthest)X
-1355(reaching)X
-1656(forward)X
-1935(and)X
-2075(reverse)X
-2331(paths)X
-2523(starting)X
-2786(at)X
-2867(opposing)X
-3183(corners)X
-3443(``overlap''.)X
-3855(Lemma)X
-4123(3)X
-4186(pro-)X
-576 3192(vides)N
-765(the)X
-883(formal)X
-1117(observation)X
-1511(underlying)X
-1878(this)X
-2013(approach.)X
-3 f
-576 3348(Lemma)N
-859(3:)X
-1 f
-996(There)X
-1204(is)X
-1277(a)X
-1333(D-path)X
-1576(from)X
-1752(\(0,0\))X
-1926(to)X
-2008(\(N,M\))X
-2231(if)X
-2300(and)X
-2436(only)X
-2598(if)X
-2667(there)X
-2848(is)X
-2921(a)X
-10 f
-2978 3340(R)N
-1 f
-3004 3348(D)N
-3068(/)X
-3096(2)X
-10 f
-3142 3340(H)N
-1 f
-3170 3348(-path)N
-3356(from)X
-3533(\(0,0\))X
-3708(to)X
-3791(some)X
-3981(point)X
-4166(\(x,y\))X
-996 3476(and)N
-1132(a)X
-10 f
-1188(Q)X
-1 f
-1214(D)X
-1278(/)X
-1306(2)X
-10 f
-1352(P)X
-1 f
-1380(-path)X
-1565(from)X
-1741(some)X
-1930(point)X
-2114(\(u,v\))X
-2288(to)X
-2370(\(N,M\))X
-2593(such)X
-2760(that:)X
-3 f
-996 3668(\(feasibility\))N
-1572(u+v)X
-9 f
-1722(\263)X
-1 f
-10 f
-1786 3660(R)N
-1 f
-1812 3668(D)N
-1876(/)X
-1904(2)X
-10 f
-1950 3660(H)N
-3 f
-1998 3668(and)N
-2146(x+y)X
-9 f
-2292(\243)X
-3 f
-2356(N+M)X
-9 f
-2536(-)X
-1 f
-10 f
-2580(Q)X
-1 f
-2606(D)X
-2670(/)X
-2698(2)X
-10 f
-2744(P)X
-3 f
-2772(,)X
-2812(and)X
-996 3796(\(overlap\))N
-1572(x)X
-9 f
-(-)S
-3 f
-1656(y)X
-1716(=)X
-1782(u)X
-9 f
-1826(-)X
-3 f
-1870(v)X
-1930(and)X
-2078(x)X
-9 f
-2138(\263)X
-3 f
-2202(u.)X
-1 f
-996 4016(Moreover,)N
-1353(both)X
-1515(D/2-paths)X
-1851(are)X
-1970(contained)X
-2302(within)X
-2526(D-paths)X
-2800(from)X
-2976(\(0,0\))X
-3150(to)X
-3232(\(N,M\).)X
-3 f
-576 4172(Proof:)N
-1 f
-696 4328(Suppose)N
-989(there)X
-1172(is)X
-1247(a)X
-1305(D-path)X
-1550(from)X
-1728(\(0,0\))X
-1904(to)X
-1988(\(N,M\).)X
-2253(It)X
-2324(can)X
-2458(be)X
-2556(partitioned)X
-2925(at)X
-3005(the)X
-3125(start,)X
-3305(\(x,y\),)X
-3501(of)X
-3590(its)X
-3687(middle)X
-3931(snake)X
-4137(into)X
-4284(a)X
-10 f
-576 4448(R)N
-1 f
-602 4456(D)N
-666(/)X
-694(2)X
-10 f
-740 4448(H)N
-1 f
-768 4456(-path)N
-956(from)X
-1135(\(0,0\))X
-1312(to)X
-1396(\(x,y\))X
-1572(and)X
-1710(a)X
-10 f
-1768(Q)X
-1 f
-1794(D)X
-1858(/)X
-1886(2)X
-10 f
-1932(P)X
-1 f
-1960(-path)X
-2147(from)X
-2325(\(u,v\))X
-2501(to)X
-2585(\(N,M\))X
-2810(where)X
-3029(\(u,v\))X
-3205(=)X
-3272(\(x,y\).)X
-3488(A)X
-3568(path)X
-3728(from)X
-3906(\(0,0\))X
-4082(to)X
-4166(\(u,v\))X
-576 4584(can)N
-708(have)X
-880(at)X
-958(most)X
-1133(u+v)X
-1278(non-diagonal)X
-1722(edges)X
-1926(and)X
-2063(there)X
-2245(is)X
-2319(a)X
-10 f
-2376 4576(R)N
-1 f
-2402 4584(D)N
-2466(/)X
-2494(2)X
-10 f
-2540 4576(H)N
-1 f
-2568 4584(-path)N
-2754(to)X
-2837(\(u,v\))X
-3012(implying)X
-3321(that)X
-3462(u+v)X
-9 f
-3608(\263)X
-10 f
-3673 4576(R)N
-1 f
-3699 4584(D)N
-3763(/)X
-3791(2)X
-10 f
-3837 4576(H)N
-1 f
-3865 4584(.)N
-3926(A)X
-4005(path)X
-4164(from)X
-576 4712(\(x,y\))N
-755(to)X
-842(\(N,M\))X
-1070(can)X
-1207(have)X
-1384(at)X
-1467(most)X
-1647(\(N+M\))X
-9 f
-1875(-)X
-1 f
-1919(\(x+y\))X
-2123(non-diagonal)X
-2571(edges)X
-2779(and)X
-2920(there)X
-3106(is)X
-3183(a)X
-10 f
-3243(Q)X
-1 f
-3269(D)X
-3333(/)X
-3361(2)X
-10 f
-3407(P)X
-1 f
-3435(-path)X
-3624(to)X
-3710(\(x,y\))X
-3888(implying)X
-4200(that)X
-576 4840(x+y)N
-9 f
-721(\243)X
-1 f
-785(N+M)X
-9 f
-(-)S
-10 f
-1003(Q)X
-1 f
-1029(D)X
-1093(/)X
-1121(2)X
-10 f
-1167(P)X
-1 f
-1195(.)X
-1255(Finally,)X
-1521(u)X
-9 f
-(-)S
-1 f
-1605(v)X
-1665(=)X
-1730(x)X
-9 f
-(-)S
-1 f
-1814(y)X
-1874(and)X
-2010(u)X
-9 f
-(\243)S
-1 f
-2094(x)X
-2154(as)X
-2241(\(x,y\))X
-2415(=)X
-2480(\(u,v\).)X
-696 4996(Conversely,)N
-1111(suppose)X
-1399(the)X
-10 f
-1527 4988(R)N
-1 f
-1553 4996(D)N
-1617(/)X
-1645(2)X
-10 f
-1691 4988(H)N
-1 f
-1719 4996(-)N
-1776(and)X
-10 f
-1922(Q)X
-1 f
-1948(D)X
-2012(/)X
-2040(2)X
-10 f
-2086(P)X
-1 f
-2114(-paths)X
-2340(exist.)X
-2561(But)X
-2706(u)X
-9 f
-(\243)S
-1 f
-2790(x)X
-2860(implies)X
-3125(there)X
-3316(is)X
-3399(a)X
-3465(k-path)X
-3701(from)X
-3888(\(0,0\))X
-4073(to)X
-4166(\(u,v\))X
-576 5124(where)N
-800(k)X
-9 f
-(\243)S
-10 f
-884 5116(R)N
-1 f
-910 5124(D)N
-974(/)X
-1002(2)X
-10 f
-1048 5116(H)N
-1 f
-1076 5124(.)N
-1143(By)X
-1263(Lemma)X
-1534(1,)X
-9 f
-1620(D)X
-1 f
-1695(=)X
-10 f
-1766 5116(R)N
-1 f
-1792 5124(D)N
-1856(/)X
-1884(2)X
-10 f
-1930 5116(H)N
-9 f
-1958 5124(-)N
-1 f
-2002(k)X
-2068(is)X
-2147(a)X
-2209(multiple)X
-2501(of)X
-2594(2)X
-2660(as)X
-2753(both)X
-2921(the)X
-3045(k-path)X
-3276(and)X
-10 f
-3418 5116(R)N
-1 f
-3444 5124(D)N
-3508(/)X
-3536(2)X
-10 f
-3582 5116(H)N
-1 f
-3610 5124(-path)N
-3801(end)X
-3943(in)X
-4031(the)X
-4155(same)X
-576 5252(diagonal.)N
-920(Moreover,)X
-1285(the)X
-1411(k-path)X
-1644(has)X
-1779(\(u+v)X
-9 f
-1931(-)X
-1 f
-1975(k\)/2)X
-9 f
-2132(\263)X
-2204(D)X
-1 f
-2253(/2)X
-2343(diagonals)X
-2679(as)X
-2775(u+v)X
-9 f
-2929(\243)X
-10 f
-3002 5244(R)N
-1 f
-3028 5252(D)N
-3092(/)X
-3120(2)X
-10 f
-3166 5244(H)N
-1 f
-3194 5252(.)N
-3263(By)X
-3385(replacing)X
-3713(each)X
-3890(of)X
-9 f
-3986(D)X
-1 f
-4035(/2)X
-4126(of)X
-4222(the)X
-576 5380(diagonals)N
-904(in)X
-987(the)X
-1106(k-path)X
-1332(with)X
-1495(a)X
-1552(pair)X
-1698(of)X
-1786(horizontal)X
-2132(and)X
-2269(vertical)X
-2531(edges,)X
-2755(a)X
-10 f
-2812 5372(R)N
-1 f
-2838 5380(D)N
-2902(/)X
-2930(2)X
-10 f
-2976 5372(H)N
-1 f
-3004 5380(-path)N
-3190(from)X
-3366(\(0,0\))X
-3540(to)X
-3622(\(u,v\))X
-3796(is)X
-3869(obtained.)X
-4205(But)X
-576 5508(then)N
-737(there)X
-921(is)X
-997(a)X
-1056(D-path)X
-1303(from)X
-1483(\(0,0\))X
-1661(to)X
-1747(\(N,M\))X
-1974(consisting)X
-2322(of)X
-2413(this)X
-10 f
-2552 5500(R)N
-1 f
-2578 5508(D)N
-2642(/)X
-2670(2)X
-10 f
-2716 5500(H)N
-1 f
-2744 5508(-path)N
-2933(to)X
-3019(\(u,v\))X
-3197(and)X
-3337(the)X
-3459(the)X
-3581(given)X
-10 f
-3783(Q)X
-1 f
-3809(D)X
-3873(/)X
-3901(2)X
-10 f
-3947(P)X
-1 f
-3975(-path)X
-4164(from)X
-576 5636(\(u,v\))N
-758(to)X
-848(\(N,M\).)X
-1119(Note)X
-1303(that)X
-1451(the)X
-10 f
-1577(Q)X
-1 f
-1603(D)X
-1667(/)X
-1695(2)X
-10 f
-1741(P)X
-1 f
-1769(-path)X
-1962(is)X
-2043(part)X
-2196(of)X
-2291(this)X
-2434(D-path.)X
-2724(By)X
-2844(a)X
-2907(symmetric)X
-3272(argument)X
-3602(the)X
-10 f
-3727 5628(R)N
-1 f
-3753 5636(D)N
-3817(/)X
-3845(2)X
-10 f
-3891 5628(H)N
-1 f
-3919 5636(-path)N
-4111(is)X
-4191(also)X
-576 5764(part)N
-721(of)X
-808(a)X
-864(D-path)X
-1107(from)X
-1283(\(0,0\))X
-1457(to)X
-1539(\(N,M\).)X
-16 s
-10 f
-1842 5844(`)N
-10 s
-1 f
-2361 6176(-)N
-2408(10)X
-2508(-)X
-
-11 p
-%%Page: 11 11
-10 s 10 xH 0 xS 1 f
-696 704(The)N
-842(outline)X
-1085(below)X
-1302(gives)X
-1492(the)X
-1611(procedure)X
-1954(for)X
-2069(\256nding)X
-2316(the)X
-2435(middle)X
-2678(snake)X
-2882(of)X
-2970(an)X
-3067(optimal)X
-3332(path.)X
-3532(For)X
-3665(successive)X
-4026(values)X
-4253(of)X
-576 832(D,)N
-678(compute)X
-978(the)X
-1100(endpoints)X
-1435(of)X
-1526(the)X
-1648(furthest)X
-1917(reaching)X
-2218(forward)X
-2497(D-paths)X
-2774(from)X
-2953(\(0,0\))X
-3130(and)X
-3269(then)X
-3430(compute)X
-3729(the)X
-3850(furthest)X
-4118(reach-)X
-576 960(ing)N
-698(reverse)X
-951(D-paths)X
-1225(from)X
-1401(\(N,M\).)X
-1664(Do)X
-1782(so)X
-1873(in)X
-1955(V)X
-2033(vectors,)X
-2305(one)X
-2441(for)X
-2555(each)X
-2724(direction,)X
-3050(as)X
-3138(in)X
-3221(the)X
-3340(basic)X
-3526(algorithm.)X
-3898(As)X
-4008(each)X
-4177(end-)X
-576 1088(point)N
-764(is)X
-841(computed,)X
-1201(check)X
-1413(to)X
-1499(see)X
-1626(if)X
-1699(it)X
-1767(overlaps)X
-2063(with)X
-2229(the)X
-2351(path)X
-2513(in)X
-2599(the)X
-2721(same)X
-2909(diagonal)X
-3208(but)X
-3333(opposite)X
-3627(direction.)X
-3975(A)X
-4056(check)X
-4267(is)X
-576 1216(needed)N
-830(to)X
-918(ensure)X
-1154(that)X
-1300(there)X
-1487(is)X
-1566(an)X
-1668(opposing)X
-1987(path)X
-2151(in)X
-2239(the)X
-2364(given)X
-2569(diagonal)X
-2872(because)X
-3154(forward)X
-3436(paths)X
-3632(are)X
-3758(in)X
-3847(diagonals)X
-4181(cen-)X
-576 1344(tered)N
-764(about)X
-969(0)X
-1036(and)X
-1179(reverse)X
-1439(paths)X
-1635(are)X
-1761(in)X
-1850(diagonals)X
-2184(centered)X
-2484(around)X
-9 f
-2734(D)X
-1 f
-2810(=)X
-2882(N)X
-9 f
-2940(-)X
-1 f
-2984(M.)X
-3122(Moreover,)X
-3486(by)X
-3593(Lemma)X
-3865(1,)X
-3952(the)X
-4076(optimal)X
-576 1472(edit)N
-720(script)X
-922(length)X
-1146(is)X
-1223(odd)X
-1368(or)X
-1460(even)X
-1637(as)X
-9 f
-1729(D)X
-1 f
-1803(is)X
-1881(odd)X
-2026(or)X
-2118(even.)X
-2335(Thus)X
-2520(when)X
-9 f
-2719(D)X
-1 f
-2793(is)X
-2871(odd,)X
-3036(check)X
-3249(for)X
-3368(overlap)X
-3634(only)X
-3801(while)X
-4004(extending)X
-576 1600(forward)N
-862(paths)X
-1062(and)X
-1209(when)X
-9 f
-1414(D)X
-1 f
-1494(is)X
-1578(even,)X
-1781(check)X
-2000(for)X
-2125(overlap)X
-2397(only)X
-2570(while)X
-2779(extending)X
-3126(reverse)X
-3390(paths.)X
-3630(As)X
-3750(soon)X
-3932(as)X
-4030(a)X
-4097(pair)X
-4253(of)X
-576 1728(opposing)N
-902(and)X
-1051(furthest)X
-1329(reaching)X
-1639(paths)X
-1841(overlap,)X
-2135(stop)X
-2301(and)X
-2450(report)X
-2675(the)X
-2806(overlapping)X
-3222(snake)X
-3438(as)X
-3538(the)X
-3670(middle)X
-3926(snake)X
-4143(of)X
-4244(an)X
-576 1856(optimal)N
-845(path.)X
-1048(Note)X
-1229(that)X
-1374(the)X
-1497(endpoints)X
-1833(of)X
-1925(this)X
-2065(snake)X
-2273(can)X
-2410(be)X
-2511(readily)X
-2759(delivered)X
-3083(as)X
-3175(the)X
-3298(snake)X
-3506(was)X
-3656(just)X
-3796(computed)X
-4136(in)X
-4222(the)X
-576 1984(previous)N
-872(step.)X
-3 f
-9 f
-776 2176(D)N
-845 MX
-(<-)172 1768 oc
-3 f
-944(N)X
-9 f
-1002(-)X
-3 f
-1046(M)X
-776 2304(For)N
-921(D)X
-9 f
-999 MX
-(<-)172 1768 oc
-3 f
-1098(0)X
-1158(to)X
-1 f
-10 f
-1245 2296(R)N
-1 f
-1271 2304(\()N
-1304(M)X
-9 f
-1388(+)X
-1 f
-1445(N)X
-1509(\))X
-1542(/)X
-1570(2)X
-10 f
-1616 2296(H)N
-3 f
-1664 2304(Do)N
-948 2432(For)N
-1093(k)X
-9 f
-1157 MX
-(<-)172 1768 oc
-1256(-)X
-3 f
-1300(D)X
-1378(to)X
-1465(D)X
-1543(in)X
-1629(steps)X
-1818(of)X
-1905(2)X
-1965(Do)X
-1121 2560(Find)N
-1300(the)X
-1427(end)X
-1571(of)X
-1658(the)X
-1785(furthest)X
-2077(reaching)X
-2395(forward)X
-2696(D-path)X
-2956(in)X
-3042(diagonal)X
-3354(k.)X
-1121 2688(If)N
-9 f
-1199(D)X
-3 f
-1268(is)X
-1341(odd)X
-1489(and)X
-1 f
-1637(k)X
-9 f
-1702(\316)X
-1 f
-1784([)X
-9 f
-1817(D)X
-1879(-)X
-1 f
-1936(\()X
-1969(D)X
-9 f
-2040(-)X
-1 f
-2097(1)X
-2143(\))X
-2183(,)X
-9 f
-2209(D)X
-2271(+)X
-1 f
-2328(\()X
-2361(D)X
-9 f
-2432(-)X
-1 f
-2489(1)X
-2535(\))X
-2568(])X
-3 f
-2615(Then)X
-1294 2816(If)N
-1372(the)X
-1499(path)X
-1674(overlaps)X
-1983(the)X
-2110(furthest)X
-2402(reaching)X
-2720(reverse)X
-1 f
-2991(\()X
-3024(D)X
-9 f
-3095(-)X
-1 f
-3152(1)X
-3198(\))X
-3 f
-3225(-path)X
-3427(in)X
-3513(diagonal)X
-3825(k)X
-3889(Then)X
-1467 2944(Length)N
-1731(of)X
-1818(an)X
-1922(SES)X
-2083(is)X
-2156(2D)X
-9 f
-2254(-)X
-3 f
-2298(1.)X
-1467 3072(The)N
-1620(last)X
-1760(snake)X
-1975(of)X
-2062(the)X
-2189(forward)X
-2490(path)X
-2665(is)X
-2738(the)X
-2865(middle)X
-3120(snake.)X
-948 3200(For)N
-1093(k)X
-9 f
-1157 MX
-(<-)172 1768 oc
-1256(-)X
-3 f
-1300(D)X
-1378(to)X
-1465(D)X
-1543(in)X
-1629(steps)X
-1818(of)X
-1905(2)X
-1965(Do)X
-1121 3328(Find)N
-1300(the)X
-1427(end)X
-1571(of)X
-1658(the)X
-1785(furthest)X
-2077(reaching)X
-2395(reverse)X
-2666(D-path)X
-2926(in)X
-3012(diagonal)X
-3324(k+)X
-9 f
-3414(D)X
-3 f
-3463(.)X
-1121 3456(If)N
-9 f
-1199(D)X
-3 f
-1268(is)X
-1341(even)X
-1517(and)X
-1 f
-1665(k)X
-9 f
-1718(+)X
-1775(D)X
-1849(\316)X
-1 f
-1931([)X
-9 f
-1971(-)X
-1 f
-2028(D)X
-2092(,)X
-2118(D)X
-2182(])X
-3 f
-2229(Then)X
-1294 3584(If)N
-1372(the)X
-1499(path)X
-1674(overlaps)X
-1983(the)X
-2110(furthest)X
-2402(reaching)X
-2720(forward)X
-3021(D-path)X
-3281(in)X
-3367(diagonal)X
-3679(k+)X
-9 f
-3769(D)X
-3 f
-3838(Then)X
-1467 3712(Length)N
-1731(of)X
-1818(an)X
-1922(SES)X
-2083(is)X
-2156(2D.)X
-1467 3840(The)N
-1620(last)X
-1760(snake)X
-1975(of)X
-2062(the)X
-2189(reverse)X
-2460(path)X
-2635(is)X
-2708(the)X
-2835(middle)X
-3090(snake.)X
-1 f
-696 4060(The)N
-841(correctness)X
-1223(of)X
-1310(this)X
-1445(procedure)X
-1787(relies)X
-1981(heavily)X
-2237(on)X
-2337(Lemma)X
-2602(3.)X
-2702(Without)X
-2984(loss)X
-3129(of)X
-3217(generality)X
-3559(suppose)X
-9 f
-3838(D)X
-1 f
-3908(is)X
-3982(even.)X
-4195(The)X
-576 4188(algorithm)N
-911(stops)X
-1099(as)X
-1190(soon)X
-1365(as)X
-1456(the)X
-1578(smallest)X
-1864(D)X
-1946(is)X
-2023(encountered)X
-2440(for)X
-2558(which)X
-2778(furthest)X
-3047(reaching)X
-3348(D-paths)X
-3625(in)X
-3710(opposite)X
-4004(directions)X
-576 4316(overlap.)N
-883(First,)X
-1075(the)X
-1199(overlapping)X
-1608(paths)X
-1804(must)X
-1986(be)X
-2089(shown)X
-2325(to)X
-2414(satisfy)X
-2650(the)X
-2775(feasibility)X
-3122(condition)X
-3451(of)X
-3545(Lemma)X
-3817(3.)X
-3924(Suppose)X
-4222(the)X
-576 4444(reverse)N
-836(furthest)X
-1108(reaching)X
-1412(path)X
-1577(ends)X
-1751(at)X
-1836(\(u,v\))X
-2017(where)X
-2241(u+v)X
-2393(=)X
-2465(k.)X
-2572(There)X
-2787(is)X
-2867(always)X
-3117(a)X
-3180(k-path)X
-3412(of)X
-3506(non-diagonal)X
-3955(edges)X
-4164(from)X
-576 4572(\(0,0\))N
-753(to)X
-838(\(u,v\))X
-1015(which)X
-1234(when)X
-1431(combined)X
-1770(with)X
-1936(the)X
-2058(reverse)X
-2315(D-path)X
-2562(forms)X
-2773(a)X
-2833(k+D-path)X
-3165(from)X
-3345(\(0,0\))X
-3523(to)X
-3609(\(N,M\).)X
-3876(This)X
-4042(path)X
-4204(and)X
-576 4700(Lemma)N
-844(3)X
-907(imply)X
-1116(there)X
-1300(are)X
-1422(overlapping)X
-1828(h-paths)X
-2087(where)X
-2307(h)X
-2370(=)X
-2438(\(k+D\)/2)X
-2720(\(k+D)X
-2913(is)X
-2989(divisible)X
-3287(by)X
-3390(2)X
-3453(as)X
-9 f
-3543(D)X
-1 f
-3615(is)X
-3691(even\).)X
-3933(So)X
-4039(certainly)X
-576 4828(there)N
-767(are)X
-896(overlapping)X
-1309(furthest)X
-1584(reaching)X
-1891(h-or-less)X
-2203(paths.)X
-2443(If)X
-2528(k)X
-2599(<)X
-2675(D,)X
-2784(then)X
-2953(h)X
-3024(<)X
-3100(D)X
-3189(contradicting)X
-3643(the)X
-3772(fact)X
-3924(that)X
-4075(furthest)X
-576 4956(reaching)N
-876(D-paths)X
-1153(are)X
-1275(the)X
-1396(\256rst)X
-1543(to)X
-1628(overlap.)X
-1932(So)X
-2039(u+v)X
-9 f
-2187(\263)X
-1 f
-2254(D)X
-2335(as)X
-2424(desired.)X
-2718(A)X
-2798(similar)X
-3042(argument)X
-3367(shows)X
-3589(that)X
-3731(the)X
-3851(furthest)X
-4118(reach-)X
-576 5084(ing)N
-701(forward)X
-979(D-path)X
-1225(also)X
-1377(satis\256es)X
-1653(the)X
-1775(feasibility)X
-2119(constraint)X
-2459(of)X
-2550(Lemma)X
-2819(3.)X
-2923(Now)X
-3103(the)X
-3225(feasible,)X
-3519(overlapping)X
-3926(D-paths)X
-4204(and)X
-576 5212(Lemma)N
-844(3)X
-907(imply)X
-1116(that)X
-1259(there)X
-1443(is)X
-1519(a)X
-1578(solution)X
-1858(path)X
-2019(of)X
-2109(length)X
-2332(2D.)X
-2493(This)X
-2658(must)X
-2836(be)X
-2935(optimal)X
-3202(for)X
-3319(if)X
-3391(there)X
-3575(is)X
-3651(a)X
-3710(2k-path,)X
-3997(k<D,)X
-4182(then)X
-576 5340(the)N
-696(lemma)X
-936(implies)X
-1193(there)X
-1376(are)X
-1497(k-paths)X
-1755(that)X
-1898(overlap.)X
-2202(But)X
-2340(this)X
-2478(implies)X
-2736(that)X
-2879(there)X
-3063(are)X
-3185(overlapping)X
-3591(furthest)X
-3859(reaching)X
-4159(k-or-)X
-576 5468(less)N
-722(paths,)X
-936(contradicting)X
-1384(the)X
-1507(fact)X
-1653(that)X
-1798(there)X
-1984(are)X
-2108(no)X
-2213(overlapping)X
-2621(paths)X
-2815(for)X
-2934(smaller)X
-3195(D.)X
-3318(Thus)X
-3503(by)X
-3608(Lemma)X
-3878(3,)X
-3963(both)X
-4130(of)X
-4222(the)X
-576 5596(overlapping)N
-980(paths)X
-1170(are)X
-1290(parts)X
-1468(of)X
-1557(optimal)X
-1823(2D-paths)X
-2139(from)X
-2317(\(0,0\))X
-2493(to)X
-2577(\(N,M\).)X
-2842(The)X
-2989(same)X
-3176(conclusion)X
-3545(can)X
-3679(be)X
-3777(drawn)X
-4000(when)X
-9 f
-4196(D)X
-1 f
-4267(is)X
-576 5724(odd.)N
-761(It)X
-835(remains)X
-1114(to)X
-1201(show)X
-1395(that)X
-1540(the)X
-1662(chosen)X
-1909(snake)X
-2116(is)X
-2193(the)X
-2315(middle)X
-2561(snake)X
-2768(of)X
-2859(the)X
-2981(optimal)X
-3249(path)X
-3411(of)X
-3502(which)X
-3722(it)X
-3790(is)X
-3867(a)X
-3927(part.)X
-4116(If)X
-9 f
-4194(D)X
-1 f
-4267(is)X
-2361 6176(-)N
-2408(11)X
-2508(-)X
-
-12 p
-%%Page: 12 12
-10 s 10 xH 0 xS 1 f
-576 704(odd\(even\))N
-927(then)X
-1090(this)X
-1230(snake)X
-1439(is)X
-1518(the)X
-1642(D)X
-9 f
-1713(+)X
-1 f
-1770(1)X
-7 s
-1814 672(st)N
-10 s
-1884 704(of)N
-1977(a)X
-2039 0.3167(forward\(reverse\))AX
-2607(path)X
-2771(which)X
-2993(is)X
-3072(part)X
-3223(of)X
-3316(an)X
-3418(optimal)X
-3688(2D)X
-9 f
-3786(-)X
-1 f
-3830(1\(2D\)-path.)X
-4253(In)X
-576 832(either)N
-779(case)X
-938(the)X
-1056(snake)X
-1259(is)X
-1332(the)X
-10 f
-1450 824(R)N
-1 f
-1476 832(k)N
-1522(/)X
-1550(2)X
-10 f
-1596 824(H)N
-9 f
-1637 832(+)N
-1 f
-1694(1)X
-7 s
-1738 800(st)N
-10 s
-1802 832(of)N
-1889(an)X
-1985(optimal)X
-2249(k-path)X
-2474(containing)X
-2832(it.)X
-696 988(The)N
-847(procedure)X
-1195(for)X
-1315(\256nding)X
-1567(the)X
-1691(middle)X
-1939(snake)X
-2148(of)X
-2241(an)X
-2343(optimal)X
-2614(D-path)X
-2864(requires)X
-3150(a)X
-3213(total)X
-3382(of)X
-3476(O\(D\))X
-3673(working)X
-3967(storage)X
-4226(for)X
-576 1116(the)N
-700(two)X
-846(V)X
-930(vectors.)X
-1228(The)X
-1379(procedure)X
-1727(only)X
-1894(requires)X
-2178(O\(\(M+N\)D\))X
-2601(time)X
-2768(because)X
-3048(the)X
-3171(forward)X
-3451(and)X
-3592(reverse)X
-3850(path)X
-4013(extension)X
-576 1244(portions)N
-860(both)X
-1024(consume)X
-1331(O\(\(M+N\)D\))X
-1751(time)X
-1915(by)X
-2017(the)X
-2137(same)X
-2324(argument)X
-2649(used)X
-2818(for)X
-2934(the)X
-3054(basic)X
-3241(algorithm.)X
-3614(In)X
-3703(fact,)X
-3866(the)X
-3986(number)X
-4253(of)X
-576 1372(snakes)N
-818(traversed)X
-1141(in)X
-1231(extending)X
-1575(forward)X
-1858(and)X
-2002(reverse)X
-2263(paths)X
-2460(can)X
-2599(be)X
-2 f
-2702(half)X
-1 f
-2853(that)X
-3000(of)X
-3094(the)X
-3219(basic)X
-3411(algorithm)X
-3749(because)X
-4031(only)X
-4200(D/2)X
-576 1500(diagonals)N
-903(are)X
-1022(searched.)X
-1364(This)X
-1527(feature)X
-1772(is)X
-1846(of)X
-1934(practical)X
-2232(import)X
-2466(\320)X
-2567(experiments)X
-2980(reveal)X
-3198(that)X
-3339(this)X
-3475(procedure)X
-3818(for)X
-3933(determining)X
-576 1628(the)N
-706(length)X
-938(of)X
-1037(an)X
-1145(SES)X
-1314(is)X
-1399(as)X
-1497(ef\256cient)X
-1791(as)X
-1889(the)X
-2018(basic)X
-2214(algorithm)X
-2556(when)X
-2761(D)X
-2850(=)X
-2926(0)X
-2997(and)X
-3144(rapidly)X
-3402(becomes)X
-3714(twice)X
-3919(as)X
-4017(fast)X
-4164(as)X
-4262(D)X
-576 1756(increases.)N
-696 1912(Given)N
-913(the)X
-1032(middle)X
-1275(snake)X
-1479(procedure,)X
-1842(a)X
-1899(linear)X
-2103(space)X
-2303(algorithm)X
-2635(for)X
-2750(\256nding)X
-2997(an)X
-3094(optimal)X
-3359(path)X
-3518(through)X
-3788(the)X
-3907(edit)X
-4048(graph)X
-4253(of)X
-576 2040(A)N
-657(and)X
-796(B)X
-872(of)X
-962(sizes)X
-1140(N)X
-1220(and)X
-1358(M)X
-1451(can)X
-1585(be)X
-1683(devised.)X
-1990(For)X
-2123(simplicity,)X
-2484(the)X
-2604(divide-and-conquer)X
-3255(algorithm)X
-3588(below)X
-3806(just)X
-3943(lists)X
-4093(a)X
-4151(long-)X
-576 2168(est)N
-686(common)X
-987(subsequence)X
-1414(of)X
-1502(A)X
-1581(and)X
-1718(B.)X
-1832(\(Producing)X
-2209(a)X
-2266(shortest)X
-2536(edit)X
-2677(script)X
-2876(is)X
-2950(left)X
-3078(as)X
-3166(an)X
-3263(exercise.\))X
-3616(First,)X
-3804(divide)X
-4026(the)X
-4146(prob-)X
-576 2296(lem)N
-725(by)X
-834(\256nding)X
-1089(a)X
-1154(middle)X
-1405(snake)X
-1616(from,)X
-1820(say,)X
-1975(\(x,y\))X
-2157(to)X
-2247(\(u,v\))X
-2429(of)X
-2524(an)X
-2628(optimal)X
-2900(D-path.)X
-3191(Begin)X
-3410(conquering)X
-3799(the)X
-3925(problem,)X
-4240(by)X
-576 2424(recursively)N
-968(\256nding)X
-1229(a)X
-10 f
-1300 2416(R)N
-1 f
-1326 2424(D)N
-1390(/)X
-1418(2)X
-10 f
-1464 2416(H)N
-1 f
-1492 2424(-path)N
-1692(from)X
-1883(\(0,0\))X
-2072(to)X
-2169(\(x,y\))X
-2358(and)X
-2509(listing)X
-2743(its)X
-2853(LCS.)X
-3074(Then)X
-3274(list)X
-3406(the)X
-3540(middle)X
-3798(snake)X
-4017(\(``Output)X
-576 2552(A[x..u]'')N
-887(lists)X
-1040(nothing)X
-1309(if)X
-1383(u)X
-1448(<)X
-1518(x\).)X
-1650(Finally,)X
-1921(recursively)X
-2303(\256nd)X
-2451(the)X
-10 f
-2573(Q)X
-1 f
-2599(D)X
-2663(/)X
-2691(2)X
-10 f
-2737(P)X
-1 f
-2765(-path)X
-2954(from)X
-3134(\(u,v\))X
-3312(to)X
-3398(\(N,M\))X
-3625(and)X
-3765(list)X
-3886(its)X
-3985(LCS.)X
-4195(The)X
-576 2680(recursion)N
-898(ends)X
-1068(in)X
-1153(two)X
-1296(ways.)X
-1524(If)X
-1601(N=0)X
-1767(or)X
-1857(M=0)X
-2036(then)X
-2197(L=0)X
-2355(and)X
-2495(there)X
-2680(is)X
-2757(nothing)X
-3025(to)X
-3111(list.)X
-3272(In)X
-3363(the)X
-3485(other)X
-3674(case,)X
-3857(N>0)X
-4024(and)X
-4164(M>0)X
-576 2808(and)N
-716(D)X
-9 f
-774(\243)X
-1 f
-818(1.)X
-921(If)X
-998(D)X
-9 f
-1056(\243)X
-1 f
-1100(1)X
-1163(then)X
-1324(B)X
-1400(is)X
-1476(obtained)X
-1775(from)X
-1954(A)X
-2035(by)X
-2138(either)X
-2344(deleting)X
-2625(or)X
-2715(inserting)X
-3018(at)X
-3099(most)X
-3277(one)X
-3416(symbol.)X
-3714(But)X
-3852(then)X
-4013(it)X
-4080(follows)X
-576 2936(that)N
-716(the)X
-834(shorter)X
-1077(of)X
-1164(A)X
-1242(and)X
-1378(B)X
-1451(is)X
-1524(the)X
-1642(LCS)X
-1808(and)X
-1944(should)X
-2177(be)X
-2273(listed.)X
-3 f
-1184 3256(LCS\(A,N,B,M\))N
-1356 3384(If)N
-1434(N>0)X
-1598(and)X
-1746(M>0)X
-1928(Then)X
-1529 3512(Find)N
-1708(the)X
-1835(middle)X
-2090(snake)X
-2305(and)X
-2453(length)X
-2686(of)X
-2773(an)X
-2877(optimal)X
-3159(path)X
-3334(for)X
-3457(A)X
-3535(and)X
-3683(B.)X
-1529 3640(Suppose)N
-1832(it)X
-1901(is)X
-1974(from)X
-2164(\(x,y\))X
-2338(to)X
-2425(\(u,v\).)X
-1529 3768(If)N
-1607(D)X
-1685(>)X
-1751(1)X
-1811(Then)X
-1702 3896(LCS\(A[1..x],x,B[1..y],y\))N
-1702 4024(Output)N
-1970(A[x+1..u].)X
-1702 4152(LCS\(A[u+1..N],N)N
-9 f
-2302(-)X
-3 f
-2346(u,B[v+1..M],M)X
-9 f
-2855(-)X
-3 f
-2899(v\))X
-1529 4280(Else)N
-1691(If)X
-1769(M)X
-1865(>)X
-1931(N)X
-2009(Then)X
-1702 4408(Output)N
-1970(A[1..N].)X
-1529 4536(Else)N
-1702 4664(Output)N
-1970(B[1..M].)X
-1 f
-696 4884(Let)N
-829(T\(P,D\))X
-1080(be)X
-1182(the)X
-1306(time)X
-1474(taken)X
-1674(by)X
-1780(the)X
-1904(algorithm)X
-2241(where)X
-2464(P)X
-2535(is)X
-2615(N+M.)X
-2856(It)X
-2932(follows)X
-3199(that)X
-3346(T)X
-3422(satis\256es)X
-3702(the)X
-3827 0.4028(recurrence)AX
-4195(ine-)X
-576 5012(quality:)N
-1515 5272(T)N
-1570(\()X
-1603(P)X
-1653(,)X
-1679(D)X
-1743(\))X
-9 f
-1809(\243)X
-10 f
-1891 5202(I)N
-1891 5282(K)N
-1891 5362(L)N
-9 f
-5344(b)Y
-1 f
-1961(P)X
-9 f
-1911 5216(a)N
-1 f
-1967(PD)X
-9 f
-2082(+)X
-1 f
-2139(T)X
-2194(\()X
-2227(P)X
-7 s
-2280 5232(1)N
-10 s
-2320 5216(,)N
-10 f
-2346 5208(R)N
-1 f
-2372 5216(D)N
-2436(/)X
-2464(2)X
-10 f
-2510 5208(H)N
-1 f
-2544 5216(\))N
-9 f
-2584(+)X
-1 f
-2641(T)X
-2696(\()X
-2729(P)X
-7 s
-2782 5232(2)N
-10 s
-2822 5216(,)N
-10 f
-2848(Q)X
-1 f
-2874(D)X
-2938(/)X
-2966(2)X
-10 f
-3012(P)X
-1 f
-3046(\))X
-3131 5344(if)N
-3212(D)X
-9 f
-3276(\243)X
-1 f
-3326(1)X
-3131 5232(if)N
-3212(D)X
-3283(>)X
-3341(1)X
-576 5576(where)N
-798(P)X
-7 s
-851 5592(1)N
-10 s
-9 f
-898 5576(+)N
-1 f
-955(P)X
-7 s
-1008 5592(2)N
-10 s
-9 f
-1067 5576(\243)N
-1 f
-1136(P)X
-1205(and)X
-9 f
-1346(a)X
-1 f
-1421(and)X
-9 f
-1562(b)X
-1 f
-1632(are)X
-1757(suitably)X
-2036(large)X
-2223(constants.)X
-2587(Noting)X
-2835(that)X
-10 f
-2981 5568(R)N
-1 f
-3007 5576(D)N
-3071(/)X
-3099(2)X
-10 f
-3145 5568(H)N
-9 f
-3199 5576(\243)N
-1 f
-3269(2D/3)X
-3455(for)X
-3575(D)X
-9 f
-3633(\263)X
-1 f
-3677(2,)X
-3763(a)X
-3825(straightforward)X
-576 5704(induction)N
-924(argument)X
-1273(shows)X
-1519(that)X
-1684(T\(P,D\))X
-9 f
-1954(\243)X
-1 f
-2043(3)X
-9 f
-(a)S
-1 f
-2133(PD+)X
-9 f
-2280(b)X
-1 f
-2324(P.)X
-2453(Thus)X
-2658(the)X
-2801(divide-and-conquer)X
-3475(algorithm)X
-3831(still)X
-3995(takes)X
-4205(just)X
-576 5832(O\(\(M+N\)D\))N
-996(time)X
-1160(despite)X
-1409(the)X
-10 f
-1529 5824(R)N
-1 f
-1555 5832(lg)N
-1642(D)X
-10 f
-1706 5824(H)N
-1 f
-1756 5832(levels)N
-1965(of)X
-2054(recursion)X
-2375(through)X
-2646(which)X
-2864(it)X
-2930(descends.)X
-3282(Furthermore,)X
-3725(the)X
-3845(algorithm)X
-4178(only)X
-2361 6176(-)N
-2408(12)X
-2508(-)X
-
-13 p
-%%Page: 13 13
-10 s 10 xH 0 xS 1 f
-576 704(requires)N
-862(O\(D\))X
-1059(working)X
-1353(storage.)X
-1652(The)X
-1804(middle)X
-2053(snake)X
-2263(procedure)X
-2612(requires)X
-2898(two)X
-3045(O\(D\))X
-3242(space)X
-3448(V)X
-3532(vectors.)X
-3830(But)X
-3971(this)X
-4112(step)X
-4267(is)X
-576 832(completed)N
-931(before)X
-1158(engaging)X
-1473(in)X
-1556(the)X
-1675(recursion.)X
-2035(Thus)X
-2216(only)X
-2379(one)X
-2516(pair)X
-2662(of)X
-2750(global)X
-2971(V)X
-3051(vectors)X
-3305(are)X
-3426(shared)X
-3658(by)X
-3760(all)X
-3862(invocations)X
-4253(of)X
-576 960(the)N
-695(procedure.)X
-1078(Moreover,)X
-1436(only)X
-1599(O\(lgD\))X
-1852(levels)X
-2060(of)X
-2148(recursion)X
-2468(are)X
-2588(traversed)X
-2904(implying)X
-3213(that)X
-3353(only)X
-3515(O\(lgD\))X
-3767(storage)X
-4019(is)X
-4092(needed)X
-576 1088(on)N
-676(the)X
-794(recursion)X
-1113(stack.)X
-1338(Unfortunately,)X
-1828(the)X
-1946(input)X
-2130(sequences)X
-2476(A)X
-2554(and)X
-2690(B)X
-2763(must)X
-2938(be)X
-3034(kept)X
-3192(in)X
-3275(memory,)X
-3583(implying)X
-3892(that)X
-4033(a)X
-4090(total)X
-4253(of)X
-576 1216(O\(M+N\))N
-882(space)X
-1081(is)X
-1154(needed.)X
-3 f
-576 1472(4c.)N
-692(An)X
-814(O)X
-882(\()X
-934(\()X
-967(M)X
-9 f
-1056(+)X
-3 f
-1113(N)X
-1177(\))X
-1217(lg)X
-1285(\()X
-1318(M)X
-9 f
-1407(+)X
-3 f
-1464(N)X
-1528(\))X
-9 f
-1594(+)X
-3 f
-1670(D)X
-7 s
-1732 1440(2)N
-10 s
-1791 1472(\))N
-1838(Worst-Case)X
-2264(Variation)X
-1 f
-696 1628(The)N
-842(\256nal)X
-1005(topic)X
-1186(involves)X
-1478(two)X
-1619(previous)X
-1916(results,)X
-2166(each)X
-2335(of)X
-2423(which)X
-2640(are)X
-2760(just)X
-2896(sketched)X
-3198(here.)X
-3399(First,)X
-3587(suf\256x)X
-3791(trees)X
-3965([12,14])X
-4221(are)X
-576 1756(used)N
-760(to)X
-859(ef\256ciently)X
-1220(record)X
-1462(the)X
-1596(common)X
-1912(sublists)X
-2187(of)X
-2290(the)X
-2424(sequences)X
-2786(being)X
-3000(compared.)X
-3393(The)X
-3554(term)X
-3737(sublist)X
-3981(is)X
-4070(used)X
-4253(as)X
-576 1884(opposed)N
-863(to)X
-945(subsequence)X
-1371(to)X
-1453(emphasize)X
-1812(that)X
-1953(the)X
-2072(symbols)X
-2359(must)X
-2535(be)X
-2632(contiguous.)X
-3044(Second,)X
-3321(a)X
-3378(recent)X
-3596(RAM-based)X
-4009(algorithm)X
-576 2012(for)N
-695(anwering)X
-1019(Q)X
-1101(on-line)X
-1352(queries)X
-1608(for)X
-1726(the)X
-1848(lowest)X
-2081(common)X
-2385(ancestors)X
-2708(of)X
-2799(vertices)X
-3073(in)X
-3159(a)X
-3219(\256xed)X
-3403(V-vertex)X
-3713(tree)X
-3858(takes)X
-4047(O\(V+Q\))X
-576 2140(time)N
-746([6].)X
-908(The)X
-1061(ef\256cient)X
-1352(variation)X
-1665(centers)X
-1921(on)X
-2029(quickly)X
-2297(\256nding)X
-2551(the)X
-2677(length)X
-2906(or)X
-3002(endpoint)X
-3311(of)X
-3407(a)X
-3472(maximal)X
-3781(snake)X
-3993(starting)X
-4262(at)X
-576 2268(point)N
-763(\(x,y\).)X
-980(This)X
-1145(is)X
-1221(shown)X
-1453(to)X
-1538(reduce)X
-1776(to)X
-1861(\256nding)X
-2110(the)X
-2231(lowest)X
-2463(common)X
-2766(ancestor)X
-3057(of)X
-3147(two)X
-3290(leaves)X
-3514(in)X
-3599(a)X
-3657(suf\256x)X
-3861(tree.)X
-4044(This)X
-4208(can)X
-576 2396(be)N
-678(done)X
-860(in)X
-948(O\(\(M+N\)lg\(M+N\)\))X
-1604(pre-processing)X
-2103(time)X
-2271(and)X
-2413(O\(1\))X
-2591(time)X
-2759(per)X
-2888(query)X
-3097(using)X
-3296(the)X
-3420(two)X
-3566(techniques)X
-3936(above.)X
-4195(The)X
-576 2524(ensuing)N
-845(paragraphs)X
-1218(embellish)X
-1549(these)X
-1734(ideas.)X
-696 2680(A)N
-777(suf\256x)X
-982(or)X
-1072(Patricia)X
-1340(tree)X
-1484([12,14])X
-1741(for)X
-1858(a)X
-1917(sequence)X
-2235(S)X
-2303(of)X
-2394(length)X
-2618(L)X
-2691(has)X
-2822(edges)X
-3029(labelled)X
-3307(with)X
-3473(sublists)X
-3736(of)X
-3827(S,)X
-3915(has)X
-4046(L)X
-4119(leaves)X
-576 2808(labelled)N
-850(with)X
-1012(the)X
-1130(positions)X
-1438(of)X
-1525(S,)X
-1609(and)X
-1745(satis\256es)X
-2018(the)X
-2136(following)X
-2467(three)X
-2648(properties.)X
-616 2964(1.)N
-776(Concatenating)X
-1265(the)X
-1389(edge)X
-1567(labels)X
-1780(traversed)X
-2101(on)X
-2207(the)X
-2332(path)X
-2497(from)X
-2680(the)X
-2805(root)X
-2961(to)X
-3050(the)X
-3175(leaf)X
-3323(for)X
-3444(position)X
-3728(j,)X
-3797(gives)X
-3993(the)X
-4118(suf\256x,)X
-776 3092(S[j..L],)N
-1025(of)X
-1112(S)X
-1176(starting)X
-1436(at)X
-1514(j.)X
-1596(Thus)X
-1776(every)X
-1975(path)X
-2133(within)X
-2357(the)X
-2475(tree)X
-2616(denotes)X
-2881(a)X
-2937(sublist)X
-3165(of)X
-3252(S.)X
-616 3248(2.)N
-776(Every)X
-988(interior)X
-1244(vertex)X
-1465(has)X
-1592(out-degree)X
-1956(greater)X
-2200(than)X
-2358(one.)X
-616 3404(3.)N
-776(The)X
-921(labels)X
-1128(of)X
-1215(the)X
-1333(out-edges)X
-1665(of)X
-1752(every)X
-1951(vertex)X
-2172(begin)X
-2370(with)X
-2532(distinct)X
-2787(symbols.)X
-576 3560(These)N
-788(properties)X
-1129(can)X
-1261(only)X
-1423(be)X
-1519(satis\256ed)X
-1801(if)X
-1870(the)X
-1988(last)X
-2119(symbol)X
-2374(of)X
-2461(S)X
-2525(is)X
-2598(distinct)X
-2853(from)X
-3029(every)X
-3228(other)X
-3413(symbol)X
-3668(in)X
-3750(S.)X
-3855(This)X
-4018(condition)X
-576 3688(is)N
-659(usually)X
-919(met)X
-1068(by)X
-1177(appending)X
-1540(a)X
-1605(special)X
-1857(symbol)X
-2121(to)X
-2212(the)X
-2339(target)X
-2551(sequence)X
-2875(and)X
-3020(once)X
-3201(satis\256ed,)X
-3512(the)X
-3639(suf\256x)X
-3850(tree)X
-4000(is)X
-4082(unique.)X
-576 3816(Property)N
-879(2)X
-946(guarantees)X
-1317(that)X
-1464(there)X
-1652(are)X
-1778(less)X
-1925(than)X
-2090(L)X
-2166(interior)X
-2429(vertices.)X
-2746(Moreover,)X
-3110(the)X
-3235(substrings)X
-3586(labelling)X
-3893(edges)X
-4104(can)X
-4244(be)X
-576 3944(represented)N
-977(by)X
-1087(just)X
-1232(storing)X
-1484(indices)X
-1741(to)X
-1833(their)X
-2010(\256rst)X
-2164(and)X
-2310(last)X
-2451(characters)X
-2808(in)X
-2900(S.)X
-3014(Thus)X
-3204(suf\256x)X
-3416(trees)X
-3597(can)X
-3738(be)X
-3843(stored)X
-4068(in)X
-4159(O\(L\))X
-576 4072(space.)N
-817(The)X
-964(ef\256cient)X
-1249(construction)X
-1667(of)X
-1757(suf\256x)X
-1962(trees)X
-2137(is)X
-2213(beyond)X
-2472(the)X
-2593(scope)X
-2799(of)X
-2889(this)X
-3027(paper.)X
-3269(The)X
-3417(reader)X
-3642(is)X
-3718(referred)X
-3997(to)X
-4082(a)X
-4141(paper)X
-576 4200(by)N
-679(McCreight)X
-1049([14])X
-1206(giving)X
-1433(an)X
-1532(algorithm)X
-1866(that)X
-2009(constructs)X
-2357(a)X
-2416(suf\256x)X
-2621(tree)X
-2765(in)X
-2850(O\(L\))X
-3034(steps.)X
-3257(Most)X
-3443(of)X
-3532(the)X
-3652(steps)X
-3834(are)X
-3955(easily)X
-4164(done)X
-576 4328(in)N
-664(O\(1\))X
-842(time)X
-1010(but)X
-1138(some)X
-1333(require)X
-1587(selecting)X
-1898(an)X
-2000(out-edge)X
-2307(based)X
-2516(on)X
-2622(its)X
-2723(\256rst)X
-2873(symbol.)X
-3174(When)X
-3392(the)X
-3516(alpabet)X
-3775(is)X
-3855(\256nite,)X
-4066(the)X
-4191(out-)X
-576 4456(degree)N
-821(of)X
-918(vertices)X
-1198(is)X
-1281(\256nite)X
-1475(and)X
-1621(the)X
-1748(selection)X
-2062(takes)X
-2256(O\(1\))X
-2437(time.)X
-2648(When)X
-2869(the)X
-2996(alphabet)X
-3297(is)X
-3379(unrestricted,)X
-3807(height-balanced)X
-576 4584(trees)N
-749(or)X
-837(some)X
-1027(other)X
-1213(worst-case)X
-1578(ef\256cient)X
-1862(search)X
-2089(structure)X
-2391(permits)X
-2652(selection)X
-2959(in)X
-3043(O\(lgL\))X
-3288(time.)X
-3492(Thus)X
-3674(suf\256x)X
-3878(tree)X
-4021(construc-)X
-576 4712(tion)N
-720(takes)X
-905(O\(L\))X
-1086(time)X
-1248(for)X
-1362(\256nite)X
-1546(alphabets)X
-1869(and)X
-2005(O\(LlgL\))X
-2297(time)X
-2459(otherwise.)X
-696 4868(Consider)N
-1009(the)X
-1131(two)X
-1275(paths)X
-1468(from)X
-1648(the)X
-1771(root)X
-1925(of)X
-2017(S's)X
-2144(suf\256x)X
-2351(tree)X
-2497(to)X
-2584(leaves)X
-2810(i)X
-2857(and)X
-2998(j.)X
-3085(Each)X
-3271(path)X
-3434(from)X
-3615(the)X
-3738(root)X
-3892(to)X
-3979(a)X
-4040(common)X
-576 4996(ancestor)N
-868(of)X
-959(i)X
-1005(and)X
-1145(j,)X
-1211(denotes)X
-1480(a)X
-1540(common)X
-1844(pre\256x)X
-2055(of)X
-2146(the)X
-2268(suf\256xes)X
-2541(S[i..L])X
-2774(and)X
-2914(S[j..L].)X
-3187(From)X
-3384(Property)X
-3684(3)X
-3748(it)X
-3816(follows)X
-4079(that)X
-4222(the)X
-576 5124(path)N
-736(to)X
-820(the)X
-940(lowest)X
-1171(common)X
-1474(ancestor)X
-1765(of)X
-1855(i)X
-1900(and)X
-2039(j,)X
-2104(denotes)X
-2372(the)X
-2 f
-2493(longest)X
-1 f
-2747(pre\256x)X
-2957(of)X
-3047(their)X
-3217(respective)X
-3566(suf\256xes.)X
-3878(This)X
-4043(observa-)X
-576 5252(tion)N
-721(motivates)X
-1053(the)X
-1172(following)X
-1504(suf\256x)X
-1707(tree)X
-1849 0.2167(characterization)AX
-2384(of)X
-2472(the)X
-2591(maximal)X
-2892(snake)X
-3096(starting)X
-3357(at)X
-3436(point)X
-3621(\(x,y\))X
-3796(in)X
-3879(the)X
-3997(edit)X
-4137(graph)X
-576 5380(of)N
-664(A)X
-743(and)X
-880(B)X
-954(of)X
-1042(lengths)X
-1294(N)X
-1373(and)X
-1510(M)X
-1602(respectively.)X
-2051(Form)X
-2245(the)X
-2364(position)X
-2642(tree)X
-2784(for)X
-2899(the)X
-3018(sequence)X
-3334(S)X
-3399(=)X
-3465(A.$)X
-7 s
-3592 5396(1)N
-10 s
-3626 5380(.B.$)N
-7 s
-3768 5396(2)N
-10 s
-3823 5380(where)N
-4041(the)X
-4160(sym-)X
-576 5508(bols)N
-732($)X
-7 s
-781 5524(1)N
-10 s
-838 5508(and)N
-977($)X
-7 s
-1026 5524(2)N
-10 s
-1083 5508(are)N
-1205(not)X
-1330(equal)X
-1526(to)X
-1610(each)X
-1780(other)X
-1967(or)X
-2056(any)X
-2194(symbol)X
-2451(in)X
-2535(A)X
-2615(or)X
-2704(B.)X
-2819(The)X
-2966(maximal)X
-3268(snake)X
-3473(starting)X
-3735(at)X
-3815(\(x,y\))X
-3991(is)X
-4066(denoted)X
-576 5636(by)N
-679(the)X
-800(path)X
-961(from)X
-1140(the)X
-1261(root)X
-1413(of)X
-1503(S's)X
-1628(suf\256x)X
-1833(tree)X
-1978(to)X
-2064(the)X
-2186(lowest)X
-2419(common)X
-2723(ancestor)X
-3015(of)X
-3106(positions)X
-3418(x)X
-3482(and)X
-3622(y+N+1.)X
-3914(This)X
-4080(follows)X
-576 5764(because)N
-871(neither)X
-1134($)X
-7 s
-1183 5780(1)N
-10 s
-1257 5764(or)N
-1364($)X
-7 s
-1413 5780(2)N
-10 s
-1487 5764(can)N
-1639(be)X
-1755(a)X
-1831(part)X
-1996(of)X
-2103(this)X
-2258(longest)X
-2529(common)X
-2849(pre\256x)X
-3076(for)X
-3210(the)X
-3348(suf\256xes)X
-3636(A[x..N].$)X
-7 s
-3955 5780(1)N
-10 s
-3989 5764(.B.$)N
-7 s
-4131 5780(2)N
-10 s
-4204 5764(and)N
-2361 6176(-)N
-2408(13)X
-2508(-)X
-
-14 p
-%%Page: 14 14
-10 s 10 xH 0 xS 1 f
-576 704(B[y..M].$)N
-7 s
-903 720(2)N
-10 s
-937 704(.)N
-1003(So)X
-1113(to)X
-1201(\256nd)X
-1351(the)X
-1475(endpoint)X
-1781(of)X
-1875(a)X
-1938(snake)X
-2148(starting)X
-2415(at)X
-2500(\(x,y\),)X
-2701(\256nd)X
-2852(the)X
-2977(lowest)X
-3213(common)X
-3520(ancestor)X
-3815(of)X
-3909(leaves)X
-4137(x)X
-4204(and)X
-576 832(y+N+1)N
-825(in)X
-907(the)X
-1025(suf\256x)X
-1227(tree)X
-1368(and)X
-1504(return)X
-1716(\(x+m,y+m\))X
-2104(where)X
-2321(m)X
-2403(is)X
-2476(the)X
-2594(length)X
-2814(of)X
-2901(the)X
-3019(sublist)X
-3247(denoted)X
-3521(by)X
-3621(the)X
-3739(path)X
-3897(to)X
-3979(this)X
-4114(ances-)X
-576 960(tor.)N
-736(In)X
-834(a)X
-901(linear)X
-1115(preprocessing)X
-1593(pass)X
-1763(the)X
-1893(sublist)X
-2133(lengths)X
-2396(to)X
-2490(every)X
-2701(vertex)X
-2934(are)X
-3065(computed)X
-3413(and)X
-3561(the)X
-3691(auxiliary)X
-4008(structures)X
-576 1088(needed)N
-833(for)X
-956(the)X
-1083(O\(V+Q\))X
-1385(lowest)X
-1623(common)X
-1932(ancestor)X
-2229(algorithm)X
-2569(of)X
-2665(Harel)X
-2872(and)X
-3016(Tarjan)X
-3254([6])X
-3376(are)X
-3503(constructed.)X
-3941(This)X
-4111(RAM-)X
-576 1216(based)N
-782(algorithm)X
-1116(requires)X
-1398(O\(V\))X
-1591(preprocessing)X
-2060(time)X
-2225(but)X
-2350(can)X
-2485(then)X
-2646(answer)X
-2897(each)X
-3068(on-line)X
-3319(query)X
-3526(in)X
-3612(O\(1\))X
-3788(time.)X
-3994(Thus)X
-4178(with)X
-576 1344(O\(\(M+N\)lg\(M+N\)\))N
-1228(preprocessing)X
-1696(time)X
-1860(\(building)X
-2175(the)X
-2295(suf\256x)X
-2499(tree)X
-2642(is)X
-2717(the)X
-2837(dominant)X
-3161(cost\),)X
-3358(a)X
-3415(collection)X
-3752(of)X
-3840(on-line)X
-4088(queries)X
-576 1472(for)N
-690(the)X
-808(endpoints)X
-1139(of)X
-1226(maximal)X
-1526(snakes)X
-1760(can)X
-1892(be)X
-1988(answered)X
-2312(in)X
-2394(O\(1\))X
-2566(time)X
-2728(per)X
-2851(query.)X
-696 1628(Modify)N
-956(the)X
-1074(basic)X
-1260(algorithm)X
-1592(of)X
-1680(Section)X
-1941(3)X
-2002(by)X
-2103(\(a\))X
-2214(prefacing)X
-2539(it)X
-2604(with)X
-2767(the)X
-2886(preprocessing)X
-3353(needed)X
-3602(for)X
-3717(the)X
-3836(maximal)X
-4137(snake)X
-576 1756(queries)N
-833(and)X
-974(\(b\))X
-1093(replacing)X
-1417(Line)X
-1589(9)X
-1654(with)X
-1821(the)X
-1944(O\(1\))X
-2121(query)X
-2329(primitives.)X
-2717(Recall)X
-2946(that)X
-3090(every)X
-3293(line)X
-3437(in)X
-3523(the)X
-3645(innermost)X
-3989(loop)X
-4155(other)X
-576 1884(than)N
-737(Line)X
-907(9)X
-970(is)X
-1046(O\(1\))X
-1221(and)X
-1360(that)X
-1503(the)X
-1624(loop)X
-1789(is)X
-1865(repeated)X
-2161(O)X
-2225(\()X
-2258(D)X
-7 s
-2320 1852(2)N
-10 s
-2360 1884(\))N
-2410(times.)X
-2646(Now)X
-2825(that)X
-2968(Line)X
-3138(9)X
-3201(takes)X
-3389(O\(1\))X
-3564(time)X
-3729(it)X
-3797(follows)X
-4061(that)X
-4205(this)X
-576 2012(modi\256cation)N
-1003(results)X
-1235(in)X
-1320(an)X
-1419(algorithm)X
-1753(that)X
-1896(runs)X
-2057(in)X
-2142(O)X
-2206(\()X
-2258(\()X
-2291(M)X
-9 f
-2375(+)X
-1 f
-2432(N)X
-2496(\))X
-2536(lg)X
-2604(\()X
-2637(M)X
-9 f
-2721(+)X
-1 f
-2778(N)X
-2842(\))X
-9 f
-2908(+)X
-1 f
-2984(D)X
-7 s
-3046 1980(2)N
-10 s
-3105 2012(\))N
-3155(time.)X
-3360(Note)X
-3539(that)X
-3682(this)X
-3820(variation)X
-4128(is)X
-4204(pri-)X
-576 2140(marily)N
-822(of)X
-926(theoretical)X
-1302(interest.)X
-1615(The)X
-1777(coef\256cients)X
-2184(of)X
-2288(proportionality)X
-2805(are)X
-2941(much)X
-3156(larger)X
-3382(for)X
-3514(the)X
-3650(algorithm)X
-3999(fragments)X
-576 2268(employed)N
-913(implying)X
-1222(that)X
-1363(problems)X
-1682(will)X
-1827(have)X
-2000(to)X
-2083(be)X
-2179(very)X
-2342(large)X
-2523(before)X
-2749(the)X
-2867(variation)X
-3172(becomes)X
-3473(faster.)X
-3712(But)X
-3847(suf\256x)X
-4049(trees)X
-4221(are)X
-576 2396(particularly)N
-971(space)X
-1175(inef\256cient)X
-1525(and)X
-1667(two)X
-1813(auxiliary)X
-2124(trees)X
-2302(of)X
-2395(equal)X
-2595(size)X
-2746(are)X
-2871(needed)X
-3125(for)X
-3245(the)X
-3369(fast)X
-3511(lowest)X
-3746(common)X
-4052(ancestor)X
-576 2524(algorithm.)N
-960(Thus)X
-1152(for)X
-1278(problems)X
-1608(large)X
-1801(enough)X
-2069(to)X
-2163(make)X
-2369(the)X
-2499(time)X
-2673(savings)X
-2945(worthwhile)X
-3342(it)X
-3418(is)X
-3503(likely)X
-3717(that)X
-3869(there)X
-4062(will)X
-4218(not)X
-576 2652(enough)N
-832(memory)X
-1119(to)X
-1201(accomodate)X
-1605(these)X
-1790(additional)X
-2130(structures.)X
-3 f
-576 2908(Acknowledgements)N
-1 f
-576 3064(Webb)N
-792(Miller)X
-1016(originally)X
-1351(proposed)X
-1669(the)X
-1791(problem)X
-2083(of)X
-2175(\256nding)X
-2426(an)X
-2527(O\(ND\))X
-2780(algorithm.)X
-3156(The)X
-3306(author)X
-3536(would)X
-3761(like)X
-3906(to)X
-3993(thank)X
-4196(him)X
-576 3192(for)N
-701(nurturing)X
-1030(this)X
-1176(work)X
-1372(and)X
-1519(his)X
-1643(many)X
-1852(helpful)X
-2109(suggestions.)X
-2552(The)X
-2707(referees)X
-2993(comments)X
-3352(and)X
-3498(corrections)X
-3885(improved)X
-4222(the)X
-576 3320(paper)N
-775(greatly.)X
-3 f
-576 3544(References)N
-1 f
-576 3668(1.)N
-736(Aho,)X
-920(A.V.,)X
-1122(Hirschberg,)X
-1525(D.S.,)X
-1713(and)X
-1855(Ullman,)X
-2141(J.D.)X
-2316(``Bounds)X
-2640(on)X
-2746(the)X
-2870(Complexity)X
-3274(of)X
-3368(the)X
-3493(Longest)X
-3778(Common)X
-4102(Subse-)X
-736 3764(quence)N
-984(Problem.'')X
-2 f
-1369(Journal)X
-1638(of)X
-1720(ACM)X
-1909(23)X
-1 f
-(,)S
-2029(1)X
-2089(\(1976\),)X
-2343(1-12.)X
-576 3888(2.)N
-736(Aho,)X
-929(A.V.,)X
-1140(Hopcroft,)X
-1485(J.E.,)X
-1660(and)X
-1811(Ullman,)X
-2106(J.D.)X
-2 f
-2290(Data)X
-2486(Structures)X
-2851(and)X
-3007(Algorithms.)X
-1 f
-3438(Addison-Wesley,)X
-4033(Reading,)X
-736 3984(Mass.)N
-945(\(1983\),)X
-1199(203-208.)X
-576 4108(3.)N
-736(Dijkstra,)X
-1042(E.W.)X
-1255(``A)X
-1395(Note)X
-1580(on)X
-1689(Two)X
-1865(Problems)X
-2196(in)X
-2287(Connexion)X
-2667(with)X
-2838(Graphs.'')X
-2 f
-3193(Numerische)X
-3605(Mathematik)X
-4017(1)X
-1 f
-4086(\(1959\),)X
-736 4204(269-271.)N
-576 4328(4.)N
-736(Gosling,)X
-1037(J.)X
-1136(``A)X
-1276(Redisplay)X
-1625(Algorithm.'')X
-2 f
-2081(Proceedings)X
-2511(ACM)X
-2709(SIGPLAN/SIGOA)X
-3312(Symposium)X
-3706(on)X
-3815(Text)X
-3982(Manipula-)X
-736 4424(tion)N
-1 f
-880(\(1981\),)X
-1134(123-129.)X
-576 4548(5.)N
-736(Hall,)X
-914(P.A.V.)X
-1154(and)X
-1290(Dowling,)X
-1610(G.R.)X
-1801(``Approximate)X
-2298(String)X
-2513(Matching.'')X
-2 f
-2934(Computing)X
-3309(Surveys)X
-3579(12)X
-1 f
-(,)S
-3699(4)X
-3759(\(1980\),)X
-4013(381-402.)X
-576 4672(6.)N
-736(Harel,)X
-966(D.)X
-1075(and)X
-1222(Tarjan,)X
-1483(R.E.)X
-1676(``Fast)X
-1894(Algorithms)X
-2289(for)X
-2414(Finding)X
-2693(Nearest)X
-2970(Common)X
-3298(Ancestors.'')X
-2 f
-3744(SIAM)X
-3959(Journal)X
-4240(on)X
-736 4768(Computing)N
-1111(13)X
-1 f
-(,)S
-1231(2)X
-1291(\(1984\),)X
-1545(338-355.)X
-576 4892(7.)N
-736(Hirschberg,)X
-1138(D.S.)X
-1325(``A)X
-1462(Linear)X
-1697(Space)X
-1914(Algorithm)X
-2272(for)X
-2391(Computing)X
-2775(Maximal)X
-3089(Common)X
-3412(Subsequences.'')X
-2 f
-3982(Communi-)X
-736 4988(cations)N
-987(of)X
-1069(ACM)X
-1258(18)X
-1 f
-(,)S
-1378(6)X
-1438(\(1975\),)X
-1692(341-343.)X
-576 5112(8.)N
-736(Hirschberg,)X
-1149(D.S.)X
-1347(``Algorithms)X
-1801(for)X
-1931(the)X
-2065(Longest)X
-2360(Common)X
-2694(Subsequence)X
-3150(Problem.'')X
-2 f
-3552(Journal)X
-3838(of)X
-3937(ACM)X
-4143(24)X
-1 f
-(,)S
-4280(4)X
-736 5208(\(1977\),)N
-990(664-675.)X
-576 5332(9.)N
-736(Hirschberg,)X
-1134(D.S.)X
-1318(``An)X
-1492(Information-Theoretic)X
-2232(Lower)X
-2464(Bound)X
-2699(for)X
-2815(the)X
-2935(Longest)X
-3215(Common)X
-3534(Subsequence)X
-3975(Problem.'')X
-2 f
-736 5428(Information)N
-1138(Processing)X
-1514(Letters)X
-1756(7)X
-1 f
-(,)S
-1836(1)X
-1896(\(1978\),)X
-2150(40-41.)X
-576 5552(10.)N
-736(Hunt,)X
-936(J.W.)X
-1103(and)X
-1239(McIlroy,)X
-1542(M.D.)X
-1752(``An)X
-1925(Algorithm)X
-2279(for)X
-2394(Differential)X
-2790(File)X
-2935(Comparison.'')X
-3441(Computing)X
-3821(Science)X
-4092(Techn-)X
-736 5648(ical)N
-872(Report)X
-1110(41,)X
-1230(Bell)X
-1383(Laboratories)X
-1809(\(1975\).)X
-2361 6144(-)N
-2408(14)X
-2508(-)X
-
-15 p
-%%Page: 15 15
-10 s 10 xH 0 xS 1 f
-576 672(11.)N
-736(Hunt,)X
-938(J.W.)X
-1107(and)X
-1245(Szymanski,)X
-1638(T.G.)X
-1828(``A)X
-1963(Fast)X
-2119(Algorithm)X
-2475(for)X
-2592(Computing)X
-2974(Longest)X
-3255(Common)X
-3575(Subsequences.'')X
-2 f
-4142(Com-)X
-736 768(munications)N
-1147(of)X
-1229(ACM)X
-1418(20)X
-1 f
-(,)S
-1538(5)X
-1598(\(1977\),)X
-1852(350-353.)X
-576 892(12.)N
-736(Knuth,)X
-983(D.E.)X
-2 f
-1177(The)X
-1324(Art)X
-1453(of)X
-1543(Computer)X
-1891(Programming,)X
-2388(Vol.)X
-2547(3:)X
-2642(Sorting)X
-2905(and)X
-3053(Searching.)X
-1 f
-3446(Addison-Wesley,)X
-4033(Reading,)X
-736 988(Mass.)N
-945(\(1983\),)X
-1199(490-493.)X
-576 1112(13.)N
-736(Masek,)X
-993(W.J.)X
-1163(and)X
-1302(Paterson,)X
-1621(M.S.)X
-1819(``A)X
-1954(Faster)X
-2173(Algorithm)X
-2529(for)X
-2646(Computing)X
-3028(String)X
-3247(Edit)X
-3404(Distances.'')X
-2 f
-3834(J.)X
-3914(of)X
-4000(Computer)X
-736 1208(and)N
-876(Systems)X
-1150(Sciences)X
-1447(20)X
-1 f
-(,)S
-1567(1)X
-1627(\(1980\),)X
-1881(18-31.)X
-576 1332(14.)N
-736(McCreight,)X
-1125(E.M.)X
-1327(``A)X
-1461(Space-Economical)X
-2085(Suf\256x)X
-2302(Tree)X
-2472(Construction)X
-2907(Algorithm.'')X
-2 f
-3356(Journal)X
-3627(of)X
-3711(ACM)X
-3902(23)X
-1 f
-(,)S
-4024(2)X
-4086(\(1976\),)X
-736 1428(262-272.)N
-576 1552(15.)N
-736(Miller,)X
-988(W.,)X
-1137(and)X
-1286(Myers,)X
-1544(E.W.)X
-1762(``A)X
-1907(File)X
-2064(Comparison)X
-2488(Program.'')X
-2 f
-2891(Software)X
-3208(\320)X
-3312(Practice)X
-3617(&)X
-3712(Experience)X
-4107(15)X
-1 f
-(,)S
-4240(11)X
-736 1648(\(1985\),)N
-990(1025-1040.)X
-576 1772(16.)N
-736(Nakatsu,)X
-1053(N.,)X
-1185(Kambayashi,)X
-1641(Y.,)X
-1774(and)X
-1925(Yajima,)X
-2216(S.)X
-2335(``A)X
-2482(Longest)X
-2775(Common)X
-3107(Subsequence)X
-3561(Algorithm)X
-3929(Suitable)X
-4226(for)X
-736 1868(Similar)N
-991(Text)X
-1158(Strings.'')X
-2 f
-1498(Acta)X
-1665(Informatica)X
-2063(18)X
-1 f
-2163(\(1982\),)X
-2417(171-179.)X
-576 1992(17.)N
-736(Rochkind,)X
-1105(M.J.)X
-1305(``The)X
-1522(Source)X
-1783(Code)X
-1990(Control)X
-2272(System.'')X
-2 f
-2639(IEEE)X
-2851(Transactions)X
-3306(on)X
-3424(Software)X
-3746(Engineering)X
-4181(1)X
-1 f
-(,)S
-4280(4)X
-736 2088(\(1975\),)N
-990(364-370.)X
-576 2212(18.)N
-736(Sankoff,)X
-1041(D.)X
-1150(and)X
-1297(Kruskal,)X
-1602(J.B.)X
-2 f
-1777(Time)X
-1968(Warps,)X
-2228(String)X
-2454(Edits)X
-2649(and)X
-2800(Macromolecules:)X
-3393(The)X
-3544(Theory)X
-3802(and)X
-3954(Practice)X
-4258(of)X
-736 2308(Sequence)N
-1060(Comparison.)X
-1 f
-1515(Addison-Wesley,)X
-2094(Reading,)X
-2401(Mass.)X
-2610(\(1983\).)X
-576 2432(19.)N
-736(Tichy,)X
-970(W.)X
-1113(``The)X
-1319(String-to-String)X
-1852(Correction)X
-2222(Problem)X
-2521(with)X
-2691(Block)X
-2910(Moves.'')X
-2 f
-3250(ACM)X
-3447(Transactions)X
-3892(on)X
-4000(Computer)X
-736 2528(Systems)N
-1010(2)X
-1 f
-(,)S
-1090(4)X
-1150(\(1984\),)X
-1404(309-321.)X
-576 2652(20.)N
-736(Wagner,)X
-1037(R.A.)X
-1215(and)X
-1358(Fischer,)X
-1641(M.J.)X
-1830(``The)X
-2036(String-to-String)X
-2569(Correction)X
-2939(Problem.'')X
-2 f
-3331(Journal)X
-3607(of)X
-3696(ACM)X
-3892(21)X
-1 f
-(,)S
-4019(1)X
-4086(\(1974\),)X
-736 2748(168-173.)N
-2361 6144(-)N
-2408(15)X
-2508(-)X
-
-15 p
-%%Trailer
-xt
-%%Pages: 15
-%%DocumentNeededResources: font Times-Roman Times-Italic Times-Bold 
-%%+ Times-BoldItalic Helvetica Helvetica-Bold Courier Courier-Bold Symbol 
-
-xs